Quadratfreie Zahl

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Eine natürliche Zahl heißt quadratfrei, wenn es außer der Eins keine Quadratzahl gibt, die diese Zahl teilt. Anders formuliert tritt in der eindeutigen Primfaktorzerlegung n = p_1\cdots p_k einer quadratfreien Zahl keine Primzahl mehr als einmal auf.

Beispielsweise ist die Zahl 6 = 2·3 quadratfrei, während 54 = 2·32·3 nicht quadratfrei ist. Die ersten 20 quadratfreien Zahlen sind

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, … (Folge A005117 in OEIS)

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Möbiusfunktion \mu(n) an der Stelle n ist genau dann ungleich 0, wenn n quadratfrei ist.

Eine Zahl n ist genau dann quadratfrei, wenn der Restklassenring \mathbb Z/n\mathbb Z reduziert ist, das heißt, wenn außer der Null kein nilpotentes Element enthalten ist.

Die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl quadratfrei ist, ist \tfrac{1}{\zeta(2)} = \tfrac{6}{\pi^2} \approx 61\,%, wobei \zeta die Riemannsche ζ-Funktion ist. Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gleichverteilt aus \{1, \dots, N\} gewählte natürliche Zahl quadratfrei ist, konvergiert für N\rightarrow\infty gegen \tfrac{1}{\zeta(2)}.

Allgemeine Definition[Bearbeiten]

Ein von 0 verschiedenes Element x eines faktoriellen Rings heißt quadratfrei, wenn in seiner bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten des Rings eindeutigen Primfaktorisierung x=\varepsilon \cdot p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k} (wobei \varepsilon eine Einheit des Rings ist) alle von Null verschiedenen Exponenten \alpha_i gleich 1 sind.

Es sei P(x) \in K[X] und P'(x) die formale Ableitung, dann ist P(x) quadratfrei, wenn \text{ggT}(P(x),P'(x)) = 1 ist. Somit ist für beliebiges P(x) das Polynom P(x) / \text{ggT}(P(x),P'(x)) immer quadratfrei.