Quadratisches Mittel

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Das quadratische Mittel ist eine Methode zur Mittelwert-Bildung einer Zahlen- oder Messreihe (siehe auch: Hölder-Mittel). Bei der quadratischen Mittelung haben – im Gegensatz zum geometrischen Mittel – größere Werte einen stärkeren Einfluss als kleinere. Der quadratische Mittelwert (häufige Abkürzung QMW) wird im Englischen root mean square (kurz RMS) bezeichnet.

In der Funktionalanalysis und der Maßtheorie spricht man bei einer Funktionenfolge von Konvergenz im quadratischen Mittel gegen eine bestimmte Grenzfunktion, wenn diese Folge im Sinne der L^2-Norm gegen diese Grenzfunktion konvergiert.

Berechnung[Bearbeiten]

Für die Berechnung des QMW einer Zahlenreihe werden zunächst die Quadrate aller Zahlenwerte addiert und durch ihre Anzahl n dividiert. Die Quadratwurzel daraus ergibt den QMW.

\mathrm{QMW}= \sqrt{\frac1n \sum_{i=1}^n{x_i^2}} =\sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}n} .

Aus geometrischer Sicht ermittelt man aus der Zahlenreihe Quadrate und ermittelt damit ein Quadrat durchschnittlicher Fläche bzw. ein Quadrat mittlerer Größe. Das quadratische Mittel der Seitenlängen aller Quadrate ist die Seitenlänge des Quadrates mittlerer Fläche.

Für fortlaufend vorhandene Größen muss über den betrachteten Bereich integriert werden:

\mathrm{QMW}=\sqrt{\frac1{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2} {f(t)^2 \, \mathrm dt}} ;

bei periodischen Größen, beispielsweise dem sinusförmigen Wechselstrom, integriert man über eine Anzahl von Perioden.

Wegen der Quadrierung wird er auch „zweites (absolutes) Moment“ genannt, das „dritte Moment“ wäre die Mittelung in der 3. Potenz usw.

Das folgende Beispiel zeigt einen Vergleich zwischen harmonischem, geometrischem, arithmetischem und quadratischem Mittel:

gegebene Zahlenreihe (nach Größe geordnet):   10, 12, 14, 20
Harmonisches Mittel:     \frac{4}{\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{14}+\frac{1}{20}} = \frac{4}{\frac{42+35+30+21}{420}} = 13{,}125
Geometrisches Mittel:    \sqrt[4]{10\cdot 12\cdot 14\cdot 20} = \sqrt[4]{33600} \approx 13{,}54
Arithmetisches Mittel:   \frac{10+12+14+20}{4} = \frac{56}{4} = 14{,}00
Quadratisches Mittel:    \sqrt{\frac{10^2+12^2+14^2+20^2}{4}} =  \sqrt{\frac{840}{4}} \approx 14{,}49

Man sieht, dass der stärker abweichende Wert „20“ geometrisch weniger, quadratisch aber eine größere Rolle spielt als beim einfachen (arithmetischen) Mitteln. Unter normalen Umständen würde man ihn vielleicht als „Ausreißer“ ansehen und weglassen. Ist er hingegen der Spitzenwert z. B. einer variablen elektrischen Spannung, verdient er tatsächlich eine stärkere Berücksichtigung als die kleineren Werte (siehe auch Fassregel).

Anwendung[Bearbeiten]

In der Technik hat das quadratische Mittel große Bedeutung bei periodisch veränderlichen Größen wie dem Wechselstrom, dessen Leistungsumsatz an einem ohmschen Widerstand (Joulesche Wärme) mit dem Quadrat der Stromstärke ansteigt. Man spricht hier vom Effektivwert des Stromes. Der gleiche Zusammenhang gilt bei zeitlich veränderlichen elektrischen Spannungen.

Bei einer Wechselgröße mit Sinus-Form beträgt der QMW das (1/{\sqrt 2})-fache des Scheitelwerts, also ca. 70,7 %. Weiß man nichts über den zeitlichen Verlauf der auftretenden Schwankungen, sollte der Zusammenhang bekannt sein, in dem die Mittelwertbildung vorzunehmen ist, ob eher der Gleichwert (z. B. bei Elektrolyse) oder der Effektivwert (z. B. bei Licht und Wärme) aussagekräftig ist.

Siehe auch[Bearbeiten]