Quadratwurzel

Graph der Quadratwurzel-Funktion $y = \sqrt{x}$

In doppeltlogarithmischer Darstellung wird der Graph der Quadratwurzel zu einer Geraden mit Steigung 1/2

Die Quadratwurzel (umgangssprachlich Wurzel; englisch square root, kurz sqrt) einer nichtnegativen Zahl $y$ ist jene (eindeutig bestimmte) nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl $y$ ist. Das Symbol für die Quadratwurzel ist das Wurzelzeichen $\sqrt{\,}$, die Quadratwurzel der Zahl $y$ wird also durch $\sqrt{y}$ dargestellt. Dabei wird die Zahl beziehungsweise der Term unter der Wurzel $\sqrt{y}$ als Radikand bezeichnet. Weniger verbreitet ist die ausführlichere Schreibweise $\sqrt[2]{y}.$ Außerdem kann man die Quadratwurzel als Potenz ausdrücken: $y^{\frac{1}{2}}$ ist gleichwertig mit $\sqrt{y}.$ Zum Beispiel ist wegen $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$ und $3\geq 0$ die Quadratwurzel von 9 gleich 3.

Da die Gleichung $x^2=y$ für $y > 0$ zwei Lösungen hat, definiert man üblicherweise die Quadratwurzel als die nichtnegative der beiden Lösungen, d. h. es gilt immer $\sqrt{y}\geq 0.$ Damit erreicht man, dass der Begriff der Quadratwurzel eindeutig ist. Die beiden Lösungen der Gleichung sind somit $x_1=\sqrt{y}$ und $x_2=-\sqrt{y}.$

Vorbemerkung zu den Definitionen

Bei der formalen Definition der Quadratwurzel sind zwei Probleme zu berücksichtigen:

• Wenn man sich auf nichtnegative rationale Zahlen beschränkt, dann ist die Quadratwurzel in vielen Fällen nicht definiert. Schon in der Antike fand man heraus, dass etwa die Zahl $\sqrt{2}$ keine rationale Zahl sein kann (siehe Euklids Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2).
• Im Allgemeinen existieren zwei verschiedene Zahlen, deren Quadrate mit einer vorgegebenen Zahl übereinstimmen. Beispielsweise wäre wegen $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$ auch die Zahl -3 ein möglicher Kandidat für die Quadratwurzel aus 9.

Das Symbol für die Quadratwurzel wurde zum ersten Mal während des 16. Jahrhunderts benutzt. Es wird vermutet, dass das Zeichen eine modifizierte Form des kleinen r ist, das als Abkürzung für das lateinische Wort „radix“ (Wurzel) steht. Ursprünglich wurde das Symbol dem Radikanden vorangestellt; die waagerechte Verlängerung fehlte. Noch Carl Friedrich Gauß verwendete daher Klammern für kompliziertere Wurzelausdrücke und schrieb zum Beispiel $\sqrt{}(b^2-4ac)$ anstelle von $\sqrt{b^2-4ac}.$

Im Englischen wird die Quadratwurzel als „square root“ bezeichnet, weshalb in vielen Programmiersprachen die Bezeichnung „sqrt“ für die Quadratwurzelfunktion verwendet wird.

Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

Schaubild der Quadratfunktion (rot und blau). Durch Spiegelung allein der blauen Hälfte an der Winkelhalbierenden des I. Quadranten entsteht das Schaubild der Quadratwurzelfunktion (grün).

Definition: Die Quadratwurzel $\sqrt{y}$ einer nichtnegativen reellen Zahl $y$ ist diejenige nichtnegative reelle Zahl $x$, deren Quadrat $x^2 = x \cdot x$ gleich $y$ ist.

Gleichwertig dazu kann die reelle Quadratwurzel als Funktion so definiert werden: Sei

$\begin{align} q:\; [0;\infty{[} &\rightarrow [0;\infty{[}\\ x&\mapsto y=x^2 \end{align}$

die (bijektive) Einschränkung der Quadratfunktion auf die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. Die Umkehrfunktion dieser Funktion q heißt Quadratwurzelfunktion $y \mapsto x=\sqrt{y}.$

Bemerkungen

• Zu beachten ist, dass die durch $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}; x\mapsto x^2$ erklärte Quadratfunktion für alle reellen Zahlen definiert, aber nicht umkehrbar ist. Sie ist weder injektiv noch surjektiv.
• Die Einschränkung q der Quadratfunktion ist umkehrbar und wird durch die reelle Wurzelfunktion umgekehrt. Da nur nichtnegative reelle Zahlen als Bilder von q auftreten, ist die reelle Wurzelfunktion nur für diese Zahlen definiert.
• Durch die vor der Umkehrung gemachte Einschränkung von q auf nichtnegative reelle Zahlen sind die Werte der Quadratwurzelfunktion nichtnegative Zahlen. Die Einschränkung der Quadratfunktion auf andere Teilmengen von $\mathbb{R},$ in denen verschiedene reelle Zahlen stets verschiedene Quadrate haben, würde zu anderen Umkehrfunktionen führen, diese werden aber nicht als reelle Quadratwurzelfunktion bezeichnet.

Beispiele

Quadratzahlen und deren Quadratwurzeln

Radikand	Radix Quadratwurzel		Radikand	Radix Quadratwurzel
1	1		121	11
4	2		144	12
9	3		169	13
16	4		196	14
25	5		225	15
36	6		256	16
49	7		289	17
64	8		324	18
81	9		361	19
100	10		400	20

Eigenschaften und Rechenregeln

Die Eigenschaften der Quadratwurzelfunktion ergeben sich aus den Eigenschaften der auf die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen eingeschränkten Quadratfunktion:

• $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ für $0\leq a, 0\leq b.$
• $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{-a}\cdot\sqrt{-b}$ für $a\leq 0, b\leq 0.$
• $0\leq a<b \;\Longleftrightarrow\; 0\leq \sqrt{a}<\sqrt{b},$ d. h. die Quadratwurzelfunktion ist streng monoton wachsend.
• $\sqrt{a^2}=|a|$ gilt mit dem reellen Betrag für beliebige reelle Zahlen a.
• Dagegen gilt $(\sqrt{a})^2=a$ nur für nichtnegatives a.
• Die Quadratwurzelfunktion ist auf $\Bbb R_+$ differenzierbar, dort gilt $\frac{\mathrm d\sqrt{x}}{\mathrm dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$
• An der Stelle 0 ist sie nicht differenzierbar, ihr Schaubild besitzt dort eine senkrechte Tangente mit der Gleichung $x=0.$
• Sie ist auf jedem abgeschlossenen Teilintervall $[a,b]$ ihres Definitionsbereichs Riemann-integrierbar, eine ihrer Stammfunktionen ist $F(x)=\tfrac{2}{3}\cdot \sqrt{x^3}.$

Berechnung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen

Rationale (Näherungs-) Werte einiger Quadratwurzeln

$\begin{array}{ccccr} \sqrt2&\approx&\sqrt{\frac{49}{25} }&=&\frac75\\ \sqrt2&\approx&\sqrt{\frac{289}{144} }&=&\frac{17}{12}\\ \sqrt2&\approx&\sqrt{\frac{100}{49} }&=&\frac{10}{7}\\ \sqrt3&\approx&\sqrt{\frac{49}{16} }&=&\frac74\\ \sqrt4&&&=&2\\ \sqrt5&\approx&\sqrt{\frac{81}{16} }&=&\frac94\\ \sqrt6&\approx&\sqrt{\frac{2401}{400} }&=&\frac{49}{20}\\ \sqrt7&\approx&\sqrt{\frac{64}{9} }&=&\frac{8}{3}\\ \sqrt8&\approx&\sqrt{\frac{289}{36} }&=&\frac{17}{6}\\ \sqrt9&&&=&3\\ \sqrt{10}&\approx&\sqrt{\frac{361}{36} }&=&\frac{19}{6}\\ \sqrt{11}&\approx&\sqrt{\frac{100}{9} }&=&\frac{10}{3} \end{array}$

Selbst dann, wenn die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl gezogen werden soll, ist das Ergebnis häufig eine irrationale Zahl, deren Dezimalbruchentwicklung also ein nicht-periodischer, nicht abbrechender Dezimalbruch ist (nämlich genau dann, wenn das Ergebnis nicht natürlich ist). Die Berechnung einer Quadratwurzel, die keine rationale Zahl ist, besteht also darin, einen Näherungswert ausreichender Genauigkeit zu bestimmen. Dazu gibt es eine Reihe von Möglichkeiten:

• Schriftliches Wurzelziehen: Hierbei handelt es sich um einen Algorithmus ähnlich dem gängigen Verfahren der schriftlichen Division.
• Intervallschachtelung: Dieses Verfahren ist recht leicht zu verstehen, wenn auch in der praktischen Durchführung sehr mühsam.

Beispiel (Näherungswert für $\sqrt{2}$):

Aus $1^2 = 1 < 2$ und $2^2 = 4 > 2$ folgt, dass $\sqrt{2}$ zwischen 1 und 2 liegen muss. Daher probiert man $1{,}1^2$, $1{,}2^2$ usw. durch. Aus $1{,}4^2 = 1{,}96 < 2$ und $1{,}5^2 = 2{,}25 > 2$ erkennt man, dass $\sqrt{2}$ zwischen 1,4 und 1,5 liegen muss. Fortsetzung dieses Verfahrens mit immer mehr Nachkommastellen liefert schließlich einen Näherungswert mit der gewünschten Genauigkeit:

$1{,}41421356^2<2<1{,}41421357^2\;\Rightarrow\;\sqrt{2}\approx 1{,}41421356$

• Babylonisches Wurzelziehen oder Heron-Verfahren: Dieses Iterationsverfahren wird häufig bei der Programmierung der Wurzelberechnung für Taschenrechner verwendet, da es schnell konvergiert. Es handelt sich um das Newton-Verfahren zum Auffinden von Nullstellen, angewandt auf die Funktion $x\mapsto x^2-a.$
• Die Taylorreihen-Entwicklung von $\sqrt{x}$ mit Entwicklungspunkt 1 kann mit Hilfe der binomischen Reihe gefunden werden. Die Reihe konvergiert für $|x|\leq 1$ punktweise gegen den Funktionswert der Wurzelfunktion.

  $\begin{align} \sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \binom{1/2}{n}\,x^n &= \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n}\, \frac{ (-1)^n }{ (1-2n)\, 4^n }\,x^n\\ &= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 \pm \dots \end{align}$

• Berechnung mittels CORDIC-Algorithmus: Dieses Verfahren wird vor allem in Rechenwerken, FPUs und Mikrocontrollern eingesetzt.

Ermittlung der Quadratwurzel auf grafischem Wege

Eine Möglichkeit bietet der Kathetensatz:
Die Zahl $n$, deren Quadratwurzel gesucht ist, wird auf einer Zahlengeraden von Null aus aufgetragen. Über der Strecke zwischen $0$ und $n$ wird ein Halbkreis mit Radius $r=\tfrac{n}{2}$ gezeichnet (Thaleskreis). Bei $1$ wird ein Lot zur Grundlinie errichtet, das den Halbkreis schneidet (Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks). Der Abstand dieses Schnittpunkts zum Nullpunkt ist die Quadratwurzel von $n$ (Kathete).

Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen

Das Wurzelziehen entspricht in der komplexen Ebene einer Winkelhalbierung. Beispiel: $\scriptstyle\sqrt{i}$

Ist $z$ eine von Null verschiedene komplexe Zahl, so besitzt die Gleichung

$w^2 = z$

genau zwei Lösungen für $w$, die man auch als Wurzeln oder Quadratwurzeln von $z$ bezeichnet. Diese liegen in der Gaußschen Zahlenebene auf den beiden Schnittpunkten des Kreises um 0 mit dem Radius $\sqrt{|z|}$ und der Winkelhalbierenden des Winkels zwischen der positiven $x$-Achse und $z$. Diejenige der beiden Wurzeln, die in der rechten Halbebene liegt, nennt man den Hauptwert der Wurzel.

Schreibt man die komplexe Zahl $z$ in der Form

$z=r\cdot e^{i\varphi}$

wobei $\varphi$ und $r$ reell sind mit $r > 0$ und $-\pi < \varphi \le \pi$, so gilt für den Hauptwert der Wurzel:

$w_1=\sqrt{r}\cdot e^{i\varphi/2}.$

Der zweite Wurzelwert (der Nebenwert) ergibt sich durch Punktspiegelung (180°-Drehung) am Nullpunkt:

$w_2 = \sqrt{r} \cdot e^{i (\varphi / 2 + \pi)}$

Definition

Die komplexe Funktion „Quadriere z“, $q\colon \mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}; z\mapsto z^2$ besitzt genau wie die reelle Quadratfunktion keine Umkehrfunktion, denn sie ist nicht injektiv, aber im Gegensatz zu den reellen Zahlen surjektiv, das heißt, jede komplexe Zahl ist das Quadrat einer komplexen Zahl. Man kann daher analog zu den reellen (nichtnegativen) Quadratwurzeln komplexe Quadratwurzelfunktionen definieren, indem man eine Einschränkung des Definitionsbereichs von q auf eine Teilmenge D der komplexen Zahlen vornimmt, auf der q injektiv ist und surjektiv bleibt. Je nachdem, welche Teilmenge man dafür auswählt, erhält man als Umkehrung unterschiedliche Zweige der Quadratwurzelfunktion.

Der Hauptzweig der komplexen Quadratwurzelfunktion ergibt sich, wenn man als Definitionsbereich von q

$D_H:=\{x+ \mathrm i\, y\in\mathbb{C}|x>0 \text{ oder } (x=0 \text{ und } y\geq 0)\}$

zugrundelegt, dies ist die rechte Halbebene der komplexen Zahlenebene, wobei von deren Rand nur die Zahlen mit nichtnegativem Imaginärteil zu D_H gehören. Die Einschränkung von q auf D_H ist eine bijektive Abbildung von D_H auf die komplexen Zahlen, daher ist ihre Umkehrfunktion, der Hauptzweig der Quadratwurzel auf ganz $\C$ definiert. Den Wert $\sqrt{z}$ dieser Umkehrfunktion nennt man den Hauptwert der Quadratwurzel von z. Wenn mit $\sqrt{z}$ eine bestimmte komplexe Zahl gemeint ist, dann ist es dieser Hauptwert.

Ist $z$ in kartesischen Koordinaten gegeben, also $z=x+iy$ mit reellen Zahlen $x$ und $y,$ dann ergibt sich

$\sqrt{z} = \sqrt{x+iy} = \sqrt{\tfrac{|z|+x}{2}} + i\operatorname{sgn^+}(y) \cdot\sqrt{\tfrac{|z|-x}{2}}$

für den Hauptwert der Quadratwurzel, wobei die Funktion $\operatorname{sgn^+}$ für negative $y$ den Wert −1 und ansonsten (also auch für $y=0$ und damit anders als bei der Vorzeichenfunktion $\operatorname{sgn}$) den Wert 1 hat:

$\text{sgn}^+(y)=\begin{cases} +1&\text{ für } y\ge 0\\ -1&\text{ für } y<0 \end{cases}$

Der einzige Nebenzweig von $q$ ist $-\sqrt{z}.$

Ist $z$ in Polarkoordinaten gegeben, $z=|z| \cdot \mathrm e^{\mathrm i\cdot \arg(z)}$ mit $\arg(z) \in (-\pi,\pi],$ dann ist der Hauptwert der Quadratwurzel durch

$\sqrt{z} = \sqrt{|z|} \mathrm e^{\mathrm i \cdot \arg(z)/2}$

gegeben, wobei $\sqrt{|z|}$ die reelle (nichtnegative) Quadratwurzel von $|z|$ ist. Der Nebenwert ergibt sich wieder als $-\sqrt{z} = \sqrt{|z|} \mathrm e^{\mathrm i \cdot (\arg(z)/2 +\pi)}.$

Der Betrag der beiden Wurzeln ergibt sich demnach als die Wurzel aus dem Betrag der komplexen Zahl. Beim Hauptwert wird das Argument $\arg(z)$ („der Winkel von z“, s. u.) halbiert. Die andere Lösung ergibt sich geometrisch durch Punktspiegelung dieses Hauptwerts am Ursprung.

Das Argument einer komplexen Zahl $z=x+\mathrm i\, y$ ist der orientierte Winkel $\angle(EOZ)$ in der komplexen Zahlenebene, die Punkte sind $E(1|0),$ $O(0|0)$ und $Z(x|y)$ in reellen Koordinaten. Im Bild zum folgenden Beispiel sind das Argument von z und das Argument von w₁ farbig gekennzeichnet.

• Komplexe Quadratwurzel
• 

  Ein Zweig der Quadratwurzel

• 

  Zweiter Zweig

• 

  Die Riemannsche Fläche der Quadratwurzel lässt erkennen, wie die beiden Zweige ineinander übergehen.

Beispiel: Berechnung einer komplexen Quadratwurzel

Gesucht sind die Quadratwurzeln aus $z = -1+\mathrm i\,\sqrt{3}.$ Zunächst wird der Betrag des Radikanden ermittelt:

$|z| = \left|-1+\mathrm i\sqrt{3} \right| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

Damit ergibt sich der Hauptwert der Quadratwurzel zu

$\begin{align} w_1 &= \sqrt{\tfrac{2+(-1)}{2}} + \mathrm i \cdot \operatorname{sgn^+}(\sqrt{3})\cdot\sqrt{\tfrac{2-(-1)}{2}} \\[0.3em] &= \sqrt{\tfrac{1}{2}} + \mathrm i \cdot \sqrt{\tfrac{3}{2}} = \sqrt{2} \cdot \left(\tfrac{1}{2} + \mathrm i \cdot \tfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) \end{align}$

Die andere Wurzel erhält man durch Vorzeichenumkehr:

$w_2 = -w_1 = \sqrt{2} \cdot \left( -\tfrac{1}{2} - \mathrm i \cdot \tfrac{1}{2}\sqrt{3} \right)$

Quadratwurzeln modulo n

Auch im Restklassenring $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ lassen sich Quadratwurzeln definieren. Ganz analog zu den reellen und komplexen Zahlen heißt $q$ eine Quadratwurzel von $x$, wenn gilt:

$q^2 \equiv x \;\mathrm{mod}\; n$

Allerdings muss man sich zur Berechnung von Quadratwurzeln modulo n anderer Methoden bedienen als beim Berechnen reeller oder komplexer Quadratwurzeln. Um die Quadratwurzeln von $x$ modulo $n$ zu bestimmen, kann man folgendermaßen vorgehen:

Zuerst bestimmt man die Primfaktorzerlegung

$n = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdots p_{k}^{m_k}$

des Moduls n und anschließend die Lösungen modulo der einzelnen Primzahlpotenzen $p^m.$ Diese Lösungen setzt man schließlich unter Anwendung des Chinesischen Restsatzes zur gesuchten Lösung zusammen.

Berechnung von Quadratwurzeln modulo einer Primzahl p

Für Primzahlen $p$ ungleich 2 geschieht das Berechnen der Quadratwurzeln von $x$ so:

Um zu testen, ob $x$ überhaupt eine Quadratwurzel in $\mathbb Z/p \mathbb Z$ hat, berechnet man den Wert des Legendre-Symbols

$\left(\frac xp\right) \equiv x^{\frac{p-1}2}\,\bmod\,p,$

denn es gilt:

$\left(\frac xp\right) = \begin{cases} -1, & \text{wenn }x \text{ kein quadratischer Rest modulo }p \text{ ist}\\ 0, & \text{wenn }x \text{ und }p \text{ nicht teilerfremd sind }\\ 1, & \text{wenn }x \text{ ein quadratischer Rest modulo }p \text{ ist} \end{cases}$

Im ersten Falle besitzt $x$ keine Quadratwurzel in $\mathbb Z/p \mathbb Z$ und im zweiten Fall nur die Quadratwurzel 0. Der interessante Fall ist also der dritte Fall, und daher nehmen wir im Folgenden an, dass $\bigl(\tfrac{x}{p}\bigr) = 1$ gilt.

Berechnung für den Fall p mod 4 = 3

Ist das Legendre-Symbol $\bigl(\tfrac{x}{p}\bigr)$ gleich $1,$ dann sind

$q \equiv \pm x^{\frac{p+1}{4}}\,\bmod\,p$

die beiden Quadratwurzeln von $x$ modulo $p.$

Berechnung für den Fall p mod 4 = 1

Ist das Legendre-Symbol $\bigl(\tfrac{x}{p}\bigr)$ gleich $1,$ dann sind

$q \equiv \pm \frac{x}{2r}\left(W_\frac{p-1}{4} + W_\frac{p+3}{4} \right)\,\bmod\,p$

die beiden Quadratwurzeln von $x$ modulo $p.$ Hierbei wählt man r so, dass

$\left(\frac{r^2-4x}{p}\right) = -1$

gilt. Dazu kann man einfach verschiedene Werte von r testen. Die Folge $W_n$ ist rekursiv durch

$W_n = \begin{cases} r^2/x-2, & \text{ wenn }n = 1\\ W_{n/2}^2-2, & \text{ wenn }n \text{ gerade}\\ W_{(n+1)/2}W_{(n-1)/2}-W_1, & \text{ wenn }n > 1 \text{ ungerade} \end{cases}$

definiert.

Rechenbeispiel für $x=3$ und $p=37$:

Nach obiger Formel sind die Quadratwurzeln von $x$ durch

$q \equiv \pm \frac{x}{2r}\left(W_9 + W_{10} \right)\,\bmod\,37$

gegeben. Für $r$ findet man durch Probieren den Wert $r = 2,$ denn es gilt:

$\left(\frac{r^2-4x}{p}\right) \equiv (r^2-4x)^\frac{p-1}2 \equiv (-8)^{18} \equiv 36 \equiv -1\,\bmod\,37$

Die Werte für $W_9$ und $W_{10}$ ergeben sich so:

$\begin{matrix} W_1 &\equiv& r^2/x - 2 &\equiv& 4/3 -2 &\equiv& 24 & \bmod\,37 \\ W_2 &\equiv& W_1^2-2 &\equiv& 24^2-2 &\equiv& 19 & \bmod\,37 \\ W_3 &\equiv& W_1 W_2 - W_1 &\equiv& 24\cdot 19 - 24 &\equiv& 25 & \bmod\,37 \\ W_4 &\equiv& W_2^2-2 &\equiv& 19^2-2 &\equiv& 26 & \bmod\,37 \\ W_5 &\equiv& W_2 W_3 - W_1 &\equiv& 19\cdot 25 - 24 &\equiv& 7 & \bmod\,37 \\ W_9 &\equiv& W_4 W_5 - W_1 &\equiv& 26\cdot 7 - 24 &\equiv& 10 & \bmod\,37 \\ W_{10}&\equiv& W_5^2-2 &\equiv& 7^2-2 &\equiv& 10 & \bmod\,37 \\ \end{matrix}$

Einsetzen dieser Werte ergibt

$q \equiv \pm \frac{x}{2r}\left(W_9 + W_{10} \right) \equiv \pm \frac{3}{4}(10 + 10) \equiv \pm 15 \mbox{ mod } 37.$

Das heißt: 15 und 22 sind die beiden Quadratwurzeln von 3 modulo 37.

Quadratwurzeln aus Matrizen

Als Wurzel einer quadratischen Matrix $A$ bezeichnet man alle Matrizen $B,$ die mit sich selbst multipliziert $A$ ergeben:

$A = B\cdot B \Leftrightarrow B \text{ ist Wurzel von } A$

Man findet auch Quellen, in denen $B$ die Wurzel von $A$ ist, wenn $A = B\cdot B^T$ gilt.

Für eine Wurzel von $A$ schreibt man auch $A^\frac{1}{2}.$

Anzahl existierender Wurzeln

Wie schon bei der Wurzel aus reellen oder komplexen Zahlen ist die Wurzel aus Matrizen nicht unbedingt eindeutig. So besitzt die Einheitsmatrix $I = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr)$ unendlich viele Wurzeln, nämlich unter anderem $I^\frac{1}{2} = \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & a \\ 0 & -1 \end{smallmatrix} \bigr)$ für jede komplexe Zahl $a.$

Zudem gilt wie bei den reellen oder komplexen Zahlen: Wenn $A^\frac{1}{2}$ eine Wurzel aus $A$ ist, dann auch $- A^\frac{1}{2}.$

Geometrische Interpretation von Wurzeln

Betrachtet man die Matrix $A$ als lineare Transformation, das heißt als eine Abbildung zwischen Vektorräumen, durch die einem Vektor $\vec{v}$ ein Vektor $\vec{v}'=A\vec{v}$ zugeordnet wird, dann ist eine Wurzel $A^\frac{1}{2}$ eine Transformation, die man zweimal hintereinander ausführen muss, um $\vec{v}$ in $\vec{v}'$ überzuführen.

Beispiel:

$A$ sei die zweidimensionale Rotationsmatrix mit dem Winkel $\alpha\colon$

$A = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$

Dann ist eine Wurzel von $A$ die Rotationsmatrix mit dem Winkel $\alpha/2$ (oder auch mit dem Winkel $(360^\circ +\alpha)/2$). Mit der ersten Multiplikation von $\vec{x}$ mit $A^\frac{1}{2}$ erreicht man eine Drehung um den halben Winkel und mit der zweiten Multiplikation noch einmal.

Berechnung einer Wurzel

Man kann zwei Wurzeln einer Matrix $A$ der Größe $n \times n$ leicht bestimmen, wenn $A$ eine Diagonalmatrix ist oder sich zumindest in eine Diagonalform überführen lässt (siehe Diagonalisierung).

Fall 1: Diagonalmatrix

Im ersten Fall ist eine Wurzel einfach zu bestimmen, indem von jedem Element auf der Diagonalen die Wurzel bestimmt wird:

$A^\frac{1}{2} = \begin{pmatrix} \sqrt{a_{11}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sqrt{a_{22}} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \sqrt{a_{nn}} \end{pmatrix}$

Für jedes der $n$ Diagonalelemente kann man das Vorzeichen beliebig wählen, sodass man $2^n$ verschiedene Lösungen erhält.

Da die Matrix $A$ auch negative Werte auf der Diagonalen besitzen kann, können die Wurzeln auch komplexe Zahlen beinhalten. Diagonalmatrizen mit negativen Diagonaleinträgen können jedoch auch reelle Wurzeln besitzen; diese sind dann selbst jedoch keine Diagonalmatrizen. Zum Beispiel gilt:

$\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$

Fall 2: Diagonalisierbare Matrix

Ist die Matrix $A$ keine Diagonalmatrix, kann man sie ggf. in Diagonalform überführen:

Man bestimmt die Matrizen $T$ und $D$ mit $A = T D T^{-1}.$ Die Matrix $T$ besteht aus den Eigenvektoren der Matrix $A$ als Spalten. Die Matrix $D$ ist eine Diagonalmatrix mit den zugehörigen Eigenwerten auf der Diagonalen.

Eine Wurzel der Matrix $A$ berechnet sich dann wie folgt:

$A = A^\frac{1}{2} A^\frac{1}{2} = T D T^{-1} = T D^\frac{1}{2} D^\frac{1}{2} T^{-1} = (T D^\frac{1}{2} T^{-1}) (T D^\frac{1}{2} T^{-1}) \Rightarrow A^\frac{1}{2} = T D^\frac{1}{2} T^{-1}$

Da $D$ eine Diagonalmatrix ist, lässt sich ihre Wurzel wie oben beschrieben berechnen. Auch hierbei ist zu beachten, dass die Diagonalmatrix negative Eigenwerte beinhalten kann, wodurch die Wurzel komplex wird. Da man auch hier wie in Fall 1 für jedes der $n$ Diagonalelemente der Matrix $D$ das Vorzeichen beliebig wählen kann, erhält man auch hier $2^n$ verschiedene Lösungen.

Fall 3: Nicht diagonalisierbare Matrix

Ist die Matrix $A$ nicht diagonalisierbar, lässt sich mit dem gezeigten Verfahren keine Wurzel berechnen. Dies bedeutet nicht, dass $A$ keine Wurzel besitzt: So ist beispielsweise die Scherungs-Matrix $A=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr)$ nicht diagonalisierbar, besitzt jedoch die Wurzel $\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr).$

Falls die nicht diagonalisierbare Matrix $A$ komplexe Zahlen beinhalten darf, ist sie auf jordansche Normalform transformierbar.

Man bestimmt Matrizen $Q,$ ihre Inverse $Q^{-1}$ und $J$ mit $J=Q^{-1}AQ,$ wobei $J$ in der folgenden Blockdiagonalform ist:

$J= \begin{pmatrix} J_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & J_k \end{pmatrix}$

Die $J_i$ sind Jordan-Blöcke der Form

$J_i= \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 & & & 0 \\ & \lambda_i & 1 & & \\ && \ddots{} & \ddots{}\\ &&& \lambda_i & 1 \\ 0 & & & & \lambda_i \end{pmatrix}.$

Eine Wurzel aus $A$ berechnet sich gemäß

$A = A^\frac{1}{2} A^\frac{1}{2} = Q J Q^{-1} = Q J^\frac{1}{2} J^\frac{1}{2} Q^{-1} = (Q J^\frac{1}{2} Q^{-1}) (Q J^\frac{1}{2} Q^{-1}) \Rightarrow A^\frac{1}{2} = Q J^\frac{1}{2} Q^{-1}.$

Die Wurzel aus $J$ ist aus jedem Jordan-Block $J_i$ einzeln zu ziehen.

Falls $\lambda_i \,\neq\, 0$ gilt, ist die Wurzel aus einem Jordan-Block $J_i$ durch

$J_i^\beta= \begin{pmatrix} \alpha_{i0} & \alpha_{i1} & \alpha_{i2} & \alpha_{i3} \\ 0 & \alpha_{i0} & \alpha_{i1} & \alpha_{i2} \\ 0 & 0 & \alpha_{i0} & \alpha_{i1} \\ 0 & 0 & 0 & \alpha_{i0} \end{pmatrix}$

gegeben mit $\alpha_{ij}=\frac{\Gamma(\beta+1)\lambda_i^{\beta-j}}{\Gamma(j+1)\Gamma(\beta-j+1)}$ und $j=0,1...(m_i-1),$ wobei die Größe des Jordan-Blocks $J_i$ mit $m_i$ (in der Darstellung $m_i=4$), die Subdiagonalen mit j (j=0 ist die Diagonale) und die Gammafunktion mit $\Gamma$ bezeichnet sind. Für $\beta$ ist die Zahl $\tfrac{1}{2}$ einzusetzen.

Falls $\lambda_i = 0$ und gleichzeitig $m_i > 1$ gilt, existiert die Wurzel aus dem Jordan-Block $J_i$ nicht.

Außerhalb der Jordan-Blöcke stehen lauter Nullen.

Weil die Potenz $\lambda_i^\frac{1}{2}$ im Allgemeinen zwei Lösungen besitzt, kann jeder Jordan-Block $J_i$ zwei verschiedene Lösungen haben. So entstehen durch Kombination $2^k$ Lösungen, wobei k die Anzahl der Jordan-Blöcke $J_i$ bezeichnet.

Beweis der Formel durch Einsetzen der Zahlen und Potenzieren.

Positiv definite symmetrische Matrizen

Betrachtet man nur positiv definite symmetrische Matrizen, so ist die Wurzelbildung eindeutig: Jede positiv definite symmetrische Matrix $A$ besitzt eine eindeutig bestimmte positiv definite symmetrische Wurzel $A^\frac{1}{2}.$ Man erhält sie, indem man $A$ mithilfe einer orthogonalen Matrix diagonalisiert (dies ist nach dem Spektralsatz stets möglich) und dann wie oben die Diagonalelemente durch ihre Wurzeln ersetzt; dabei ist jedoch stets die positive Wurzel zu wählen. Siehe auch Cholesky-Zerlegung. Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass die Exponentialabbildung ein Diffeomorphismus vom Vektorraum der symmetrischen Matrizen auf die Teilmenge der positiv definiten symmetrischen Matrizen ist.

Quadratwurzel aus einem genäherten Integral-Operator

Man kann die bestimmte Integral-Funktion $G, g_i:=g(x_i)$ von 0 bis $x_i$ mit $x_i=i\Delta x$ und $i = 0,1...(n-1)$ einer vorgegebenen Funktion $F, f_i:=f(x_i),$ die an den äquidistanten Stützstellen $x_i$ die Werte $f_i$ annimmt, als Matrizen-Multiplikation $G=FI$ wie folgt numerisch nähern (für $n=4$):

$G = F I = \begin{pmatrix} g_0 & g_1 & g_2 & g_3 \\ 0 & g_0 & g_1 & g_2 \\ 0 & 0 & g_0 & g_1 \\ 0 & 0 & 0 & g_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_0 & f_1 & f_2 & f_3 \\ 0 & f_0 & f_1 & f_2 \\ 0 & 0 & f_0 & f_1 \\ 0 & 0 & 0 & f_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Delta x & \Delta x & \Delta x & \Delta x \\ 0 & \Delta x & \Delta x & \Delta x \\ 0 & 0 & \Delta x & \Delta x \\ 0 & 0 & 0 & \Delta x \end{pmatrix}$

Es ist anschaulich klar, dass man diese Operation wiederholen kann und damit das Doppel-Integral $H, h_i:=h(x_i)$ erhält:

$H = G I = F I I = F I^2$

So kann man die Matrix $I$ als numerisch genäherten Integral-Operator auffassen.

Die Matrix $I$ ist nicht diagonalisierbar und ihre jordansche Normalform lautet:

$\begin{pmatrix} \Delta x & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \Delta x & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \Delta x & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \Delta x \end{pmatrix}$

Um eine Quadratwurzel daraus zu ziehen, könnte man so vorgehen wie bei den nicht diagonalisierbaren Matrizen beschrieben. Es gibt jedoch in diesem Fall eine direktere formale Lösung wie folgt:

$I^\beta = \begin{pmatrix} \alpha_0 & \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \\ 0 & \alpha_0 & \alpha_1 & \alpha_2 \\ 0 & 0 & \alpha_0 & \alpha_1 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha_0 \end{pmatrix}$

mit $\alpha_0 = (\Delta x)^\beta,$ $\alpha_k=\sum_{j=1}^{k} \frac{\Gamma(\beta + 1)(-1)^{j+1}\alpha_{k-j}} {\Gamma(j+1)\Gamma(\beta-j+1)}$ und $k=1,2...(n-1).$

Darin bezeichnen die Indizes von $\alpha$ die Subdiagonalen (0 ist die Diagonale) und der Exponent $\beta$ ist gleich $\tfrac{1}{2}.$ Setzt man $\Delta x$ als reell und positiv voraus, so ist $(\Delta x)^\frac{1}{2}$ reell und definitionsgemäß positiv.

Damit kann man ein „halbes“ bestimmtes Integral $L, l_i:=l(x_i)$ von 0 bis $x_i$ der Funktion $f(x)$ wie folgt numerisch nähern:

$L = F I^\beta = \begin{pmatrix} l_0 & l_1 & l_2 & l_3 \\ 0 & l_0 & l_1 & l_2 \\ 0 & 0 & l_0 & l_1 \\ 0 & 0 & 0 & l_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_0 & f_1 & f_2 & f_3 \\ 0 & f_0 & f_1 & f_2 \\ 0 & 0 & f_0 & f_1 \\ 0 & 0 & 0 & f_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_0 & \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \\ 0 & \alpha_0 & \alpha_1 & \alpha_2 \\ 0 & 0 & \alpha_0 & \alpha_1 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha_0 \end{pmatrix}$

Sucht man alle Operatoren, die mit sich selbst multipliziert den angenäherten Integral-Operator $I$ ergeben, so muss man zusätzlich das negative Vorzeichen einsetzen, das heißt es gibt zwei Lösungen $\pm I^\frac{1}{2}.$

Zum Herleiten der Formel kann man zunächst $I$ invertieren, das Resultat mit $\beta$ potenzieren und zuletzt nochmals invertieren.

Siehe auch

• Wurzel aus 2, Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2
• Wurzel aus 3
• Wurzel (Mathematik)
• Modulo, Restklassenring
• Quadratwurzelgesetz von Penrose

Weblinks

 Commons: Quadratwurzel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien