Quandle

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In der Mathematik sind Quandle eine algebraische Struktur, die vor allem in der Knotentheorie Anwendung findet.

Definition[Bearbeiten]

Ein Quandle ist eine Menge Q mit einer Operation \triangleright, so dass für alle x,y,z\in Q gilt:

(i) x\triangleright x=x
(ii) die durch f_y(x)=x\triangleright y definierte Abbildung f_y\colon Q\to Q ist eine Bijektion
(iii) (x\triangleright y)\triangleright z=(x\triangleright z)\triangleright(y\triangleright z).

Bedingung (iii) heißt Selbstdistributivität.

Weil f_y eine Bijektion ist, gibt es eine inverse Abbildung f_y^{-1}\colon Q\to Q. Die Operation \triangleright^{-1} wird für x,y\in Q durch

x\triangleright^{-1}y:=f_y^{-1}(x)

definiert.

Reidemeister-Bewegungen[Bearbeiten]

Die Quandle-Operationen lassen sich mittels der Reidemeister-Bewegungen von Knotendiagrammen interpretieren:

Beispiele[Bearbeiten]

x\triangleright y=2y-x.
  • Für eine Gruppe G und n\in\N definiert man den Quandle Conj_n(G) als die Menge G mit der Operation
x\triangleright y=y^{-n}xy^n.
  • Für eine Gruppe G definiert man den Quandle Core(G) als die Menge G mit der Operation
x\triangleright y=yx^{-1}y.
  • Jeder \Z\left[t^{\pm1}\right]-Modul ist ein Quandle mit der Operation
x\triangleright y=tx+(1-t)y.
Diese Quandle werden als Alexander-Quandle bezeichnet.
Q(K)=\pi_1(C(K),\partial C(K),x_0)
mit der (wohldefinierten) Verknüpfung
\left[\gamma_1\right]\triangleright\left[\gamma_2\right]=\left[\gamma_2\circ m_{\gamma_2(1)}\circ \gamma_2^{-1}\circ\gamma_1\right],
wobei m_{\gamma_2(1)} den Meridian durch \gamma_2(1) bezeichnet.

Literatur[Bearbeiten]

  • David Joyce: A classifying invariant of knots, the knot quandle. J. Pure Appl. Algebra 23 (1982), no. 1, 37–65.
  • Sergei Matwejew: Distributive groupoids in knot theory. (Russisch) Mat. Sb. (N.S.) 119(161) (1982), no. 1, 78–88, 160.

Weblinks[Bearbeiten]