Quasikonvexe Funktion

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Eine quasikonvexe Funktion, die nicht konvex ist.
Eine Funktion, die nicht quasikonvex ist: Die Menge der Punkte, für die die Funktionswerte unterhalb der gestrichelten roten Linie liegen, ist die Vereinigung von zwei getrennten Intervallen und daher nicht konvex.

Eine quasikonvexe Funktion ist eine reellwertige Funktion, die auf einer konvexen Teilmenge eines reellen Vektorraums definiert ist, wenn alle Subniveaumengen

 M_{\alpha}=\{x|f(x)\le \alpha\},

also alle Urbilder der Mengen (-\infty,\alpha) konvex sind. Der Begriff der quasikonvexen Funktionen ist daher eine Verallgemeinerung des Begriffs konvexe Funktion; er ist von Bedeutung bei verschiedenen Anwendungen in der Wirtschaftstheorie. Optimierungsmethoden, die auf die Klasse der quasikonvexen Funktionen zugeschnitten sind, gehören zur Quasikonvexen Optimierung und sind Verallgemeinerungen der Konvexen Optimierung.

Definition und Eigenschaften[Bearbeiten]

Der Graph einer quasikonkaven Funktion.

Eine Funktion f:S \to \mathbb{R}, die auf einer konvexen Teilmenge S eines reellen Vektorraums definiert ist, heißt quasikonvex, wenn aus x,y \in S und \lambda \in [0,1] folgt, dass

f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\leq\max\big(f(x),f(y)\big).

Wenn stattdessen

f(\lambda x + (1 - \lambda)y)<\max\big(f(x),f(y)\big)

für alle x \neq y und \lambda \in (0,1) gilt, dann heißt f strikt quasikonvex.

Eine Funktion  f heißt (strikt) quasikonkav, wenn  -f (strikt) quasikonvex ist. Analog zur obigen Definition gilt für quasikonkave Funktionen, dass aus x,y \in S und \lambda \in [0,1] folgt, dass

f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\geq\min\big(f(x),f(y)\big)..

Für strikt quasikonkave Funktionen gilt dann

f(\lambda x + (1 - \lambda)y)>\min\big(f(x),f(y)\big)

für alle x \neq y und \lambda \in (0,1).

Diese beiden Ungleichungen lassen sich auch als Definition verwenden.

EIne Funktion heißt quasilinear, wenn sie sowohl quasikonvex als auch quasikonkav ist.

Äquivalente Definitionen[Bearbeiten]

also alle Urbilder der Mengen (-\infty,\alpha] konvex sind

  • Eine Funktion  f ist genau dann quasikonkav, wenn alle Mengen  M^+_{\alpha}=\{x|f(x)\ge \alpha\},

also alle Urbilder der Mengen [\alpha, \infty) konvex sind.

  • Eine stetige Funktion  f:D \mapsto \mathbb{R} mit  D \subset \mathbb{R} konvex ist genau dann quasikonvex, wenn mindestens eine der drei folgenden Bedingungen gilt:
  1.  f ist monoton wachsend auf  D .
  2.  f ist monoton fallend auf  D .
  3. Es gibt ein  t \in D , so dass für  f für alle  x \leq t monoton fallend ist und für alle  x \geq t monoton wachsend ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Abrundungsfunktion oder Gaußklammerfunktion
  • Jede konvexe Funktion ist quasikonvex, da die Subniveaumengen von konvexen Funktionen konvex sind.
  • Analog sind alle konkaven Funktionen quasikonkav.
  • Jede monotone Funktion ist sowohl quasikonvex als auch quasikonkav, also Quasilinear.
  • Die Abrundungsfunktion x\mapsto \lfloor x\rfloor ist das Beispiel einer quasikonvexen Funktion, die weder konvex noch stetig ist.

Quasikonvexität und Differenzierbarkeit[Bearbeiten]

Unter Verwendung der ersten Ableitung[Bearbeiten]

Gegeben sei die differenzierbare Funktion  f: D \mapsto \mathbb{R} mit  D \subset \mathbb{R}^n konvex. Dann ist die  f genau dann quasikonvex, wenn für alle  x,y \in D gilt, dass

 f(y)\leq f(x) \implies \nabla f(x)^T(y-x)\leq 0 .

Im Falle einer Funktion auf den reellen Zahlen vereinfacht sich dies zu

 f(y)\leq f(x) \implies  f'(x)y\leq f'(x)x .

Aufgrund der Äquivalenz wird dieses auch gelegentlich zur Charakterisierung von Quasikonvexität genutzt.

Unter Verwendung der zweiten Ableitung[Bearbeiten]

Ist die Funktion  f zweimal differenzierbar und quasikonvex, so gilt für alle  x \in D und  y \in \mathbb{R}^n , dass aus  y^T \nabla f(x)=0 folgt, dass  y^T \nabla^2 f(x) y \geq 0 . Im Falle einer Funktion auf  \mathbb{R} vereinfacht sich dies zu  f'(x)=0 \implies f''(x) \geq 0

Anwendungen in der Wirtschaftstheorie[Bearbeiten]

  1. In der Theorie des Haushaltsoptimums treten quasikonkave Nutzenfunktionen auf.
  2. In der Theorie des Nash-Gleichgewichtes betrachtet man quasikonkave Auszahlungsfunktionen.

Quellen[Bearbeiten]

  • Avriel, M., Diewert, W.E., Schaible, S. and Zang, I., Generalized Concavity, Plenum Press, 1988.

Weblinks[Bearbeiten]