Quasikonvexe Funktion

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Eine quasikonvexe Funktion, die nicht konvex ist.
Eine Funktion, die nicht quasikonvex ist: Die Menge der Punkte, für die die Funktionswerte unterhalb der gestrichelten roten Linie liegen, ist die Vereinigung von zwei getrennten Intervallen und daher nicht konvex.

Eine quasikonvexe Funktion ist eine reellwertige Funktion, die auf einer konvexen Teilmenge eines reellen Vektorraums definiert ist und die konvexen Funktionen verallgemeinert, dass alle Subniveaumengen der Funktion konvex sind. Ähnlich wie bei den konvexen Funktionen definiert man als Gegenstück die quasikonkave Funktion. Ist eine Funktion quasikonvex und quasikonkav, so heißt sie eine quasilineare Funktion. Quasikonvexe Funktionen sind von Bedeutung bei verschiedenen Anwendungen in der Wirtschaftstheorie. Optimierungsmethoden, die auf die Klasse der quasikonvexen Funktionen zugeschnitten sind, gehören zur quasikonvexen Optimierung und sind Verallgemeinerungen der konvexen Optimierung.

Definition[Bearbeiten]

Quasikonvexe Funktionen können auf zwei Arten Definiert werden. Je nach Wahl der Definition wird die andere Definition dann als Eigenschaft aufgeführt.

Über Niveaumengen[Bearbeiten]

Der Graph einer quasikonkaven Funktion.

Eine Funktion f:S \to \mathbb{R}, die auf einer konvexen Teilmenge S eines reellen Vektorraums definiert ist, heißt

\mathcal L_f(c) := \{x \in U \mid f(x) \leq c\}
für beliebiges  c \in \R konvex ist.
\mathcal L_f(c) := \{x \in U \mid f(x) \geq c\}
für beliebiges  c \in \R konvex ist. Äquivalent dazu ist, dass  - f quasikonvex ist.
  • quasilinear, wenn sie sowohl quasikonvex als auch quasikonkav ist.

Über Ungleichungen[Bearbeiten]

Eine Funktion f:S \to \mathbb{R}, die auf einer konvexen Teilmenge S eines reellen Vektorraums definiert ist, heißt

  • quasikonvex, wenn aus x,y \in S und \lambda \in [0,1] folgt, dass
f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\leq\max\big(f(x),f(y)\big).
  • strikt quasikonvex, wenn
f(\lambda x + (1 - \lambda)y)<\max\big(f(x),f(y)\big)
für alle x \neq y und \lambda \in (0,1) gilt.
  • quasikonkav, wenn aus x,y \in S und \lambda \in [0,1] folgt, dass
f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\geq\min\big(f(x),f(y)\big).
  • strikt quasikonkav, wenn
f(\lambda x + (1 - \lambda)y)>\min\big(f(x),f(y)\big)
für alle x \neq y und \lambda \in (0,1) gilt.

Äquivalent zur (strikten) quasikonkavität von  f ist, dass  -f (strikt) quasikonvex ist. Die quasilinearität wird wie oben definiert: Eine Funktion heißt quasilinear, wenn die quasikonvex und quasikonkav ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Abrundungsfunktion oder Gaußklammerfunktion
  • Jede konvexe Funktion ist quasikonvex, da die Subniveaumengen von konvexen Funktionen konvex sind.
  • Analog sind alle konkaven Funktionen quasikonkav.
  • Jede monotone Funktion ist sowohl quasikonvex als auch quasikonkav, also Quasilinear.
  • Die Abrundungsfunktion x\mapsto \lfloor x\rfloor ist das Beispiel einer quasikonvexen Funktion, die weder konvex noch stetig ist.

Quasikonvexität und Differenzierbarkeit[Bearbeiten]

Unter Verwendung der ersten Ableitung[Bearbeiten]

Gegeben sei die differenzierbare Funktion  f: D \mapsto \mathbb{R} mit  D \subset \mathbb{R}^n konvex. Dann ist die  f genau dann quasikonvex, wenn für alle  x,y \in D gilt, dass

 f(y)\leq f(x) \implies \nabla f(x)^T(y-x)\leq 0 .

Im Falle einer Funktion auf den reellen Zahlen vereinfacht sich dies zu

 f(y)\leq f(x) \implies  f'(x)y\leq f'(x)x .

Aufgrund der Äquivalenz wird dieses auch gelegentlich zur Charakterisierung von Quasikonvexität genutzt.

Unter Verwendung der zweiten Ableitung[Bearbeiten]

Ist die Funktion  f zweimal differenzierbar und quasikonvex, so gilt für alle  x \in D und  y \in \mathbb{R}^n , dass aus  y^T \nabla f(x)=0 folgt, dass  y^T \nabla^2 f(x) y \geq 0 . Im Falle einer Funktion auf  \mathbb{R} vereinfacht sich dies zu  f'(x)=0 \implies f''(x) \geq 0

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Stetige quasikonvexe Funktionen auf einem normierten Vektorraum sind immer schwach unterhalbstetige Funktionen.
  • Daher nehmen stetige quasikonvexe Funktionen auf schwach folgenkompakten Mengen ein Minimum an.
  • Speziell nehmen demnach stetige quasikonvexe Funktionen auf einer konvexen, abgeschlossenen, beschränkten und nichtleeren Teilmenge eines reflexiven Banachraumes ein Minimum an.
  • Eine stetige Funktion  f:D \mapsto \mathbb{R} mit  D \subset \mathbb{R} konvex ist genau dann quasikonvex, wenn mindestens eine der drei folgenden Bedingungen gilt:
  1.  f ist monoton wachsend auf  D .
  2.  f ist monoton fallend auf  D .
  3. Es gibt ein  t \in D , so dass für  f für alle  x \leq t monoton fallend ist und für alle  x \geq t monoton wachsend ist.
  • Der Definitionsbereich und jede Niveaumenge einer quasilinearen Funktion sind konvex.

Anwendungen in der Wirtschaftstheorie[Bearbeiten]

  1. In der Theorie des Haushaltsoptimums treten quasikonkave Nutzenfunktionen auf.
  2. In der Theorie des Nash-Gleichgewichtes betrachtet man quasikonkave Auszahlungsfunktionen.

Quellen[Bearbeiten]

  • Avriel, M., Diewert, W.E., Schaible, S. and Zang, I., Generalized Concavity, Plenum Press, 1988.

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  •  Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49378-5, LCCN 2006-938674.
  •  Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online).