Quotientenkörper

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In der Algebra ist der Quotientenkörper eines Rings (mit bestimmten Eigenschaften) eine Obermenge dieses Rings, auf welche die Addition und die Multiplikation des Rings fortgesetzt werden und in der jedes Element außer 0 ein multiplikatives Inverses besitzt. Das prominenteste Beispiel ist der Körper der rationalen Zahlen als Quotientenkörper des Rings der ganzen Zahlen. Eine Verallgemeinerung des Konzepts für nicht notwendigerweise nullteilerfreie Ringe ist durch die Lokalisierung gegeben.

Definition[Bearbeiten]

Es sei R ein Integritätsring. Der kleinste Körper, in den R eingebettet werden kann, wird der Quotientenkörper oder Körper der Brüche des Integritätsrings genannt. Gebräuchlich ist die symbolische Abkürzung \operatorname{Quot}(R) oder auch \operatorname{Q}(R).

Bemerkung[Bearbeiten]

Jeder Integritätsring kann in einen „kleinsten“ Körper eingebettet werden. Alle Körper, in die der Integritätsring eingebettet werden kann, enthalten einen zu diesem kleinsten Körper, dem Quotientenkörper des Integritätsbereichs, isomorphen Teilkörper.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Ist R ein Integritätsring, dann haben die Elemente des Quotientenkörpers die Form a/b mit a,b\in R und b\neq 0.
  • Der Quotientenkörper eines Körpers ist bis auf Isomorphie der Körper selbst.
Quotkoerper.png
  • Abstrakt definiert man den Quotientenkörper eines nullteilerfreien kommutativen Ringes R (der nicht notwendigerweise ein Eins-Element enthalten muss) durch folgende universelle Eigenschaft: Ein Quotientenkörper ist ein Paar (\operatorname{Quot}(R), i), wobei \operatorname{Quot}(R) ein Körper und i\colon R\to\operatorname{Quot}(R) ein injektiver Ringhomomorphismus ist, mit der Eigenschaft, dass es für jedes Paar (K, f), wobei K ein Körper und f\colon R\to K ein injektiver Ringhomomorphismus ist, einen injektiven Körperhomomorphismus g\colon\operatorname{Quot}(R)\to K gibt mit f=g\circ i. Anschaulich bedeutet dies, dass man in jeden Körper, in den man R einbetten kann, ebenfalls den Quotientenkörper von R einbetten kann (wobei letztere Einbettung eine Fortsetzung der ersten ist).

Aus der letztgenannten Eigenschaft folgt, dass \operatorname{Quot}(R) der kleinste R enthaltende Körper ist, und dass dieser bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist (also ist es gerechtfertigt, von „dem“ Quotientenkörper zu sprechen).

Konstruktion[Bearbeiten]

Man kann den Quotientenkörper (\operatorname{Quot}(R), i) eines Integritätsrings R wie folgt konstruieren:

(a,b) \sim (c,d) \quad :\iff \quad ad=cb.
  • Üblicherweise schreibt man \frac{a}{b} für die Äquivalenzklasse von (a,b).
  • Man setzt nun Q die Menge der Äquivalenzklassen: Q:=M/{\sim}=\left\{\frac{a}{b}\colon\left(a,b\right)\in M\right\}.
  • Definiere auf Q die Addition und Multiplikation wie folgt vertreterweise:
\frac{a}{b}+\frac{c}{d} \colon= \frac{ad+cb}{bd} \qquad \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} \colon= \frac{ac}{bd}
  • Das neutrale Element bezüglich der Addition ist \frac{0}{1}, das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist \frac{1}{1}.
  • Für \frac{a}{b} ist das Inverse bezüglich der Addition durch \frac{-a}{b} gegeben, für a\neq 0 ist das Inverse bezüglich der Multiplikation durch \frac{b}{a} gegeben.
  • Damit ist (Q, +, \cdot) ein Körper, insbesondere ist i\colon R\to Q, a\mapsto \frac{a}{1} ein injektiver Ringhomomorphismus, welcher die gewünschte Einbettung vermittelt. Es gilt \operatorname{Quot}(R)=(Q, +, \cdot).

Für die Wohldefiniertheit der Struktur von \operatorname{Quot}(R) ist die Kürzungsregel in Integritätsringen entscheidend, d.h. dass für a\neq 0 aus ax=ay stets x=y folgt. Dies folgt leicht aus der Nullteilerfreiheit des Rings.

Beispiele[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Zu Anwendungen in der Funktionentheorie:

  •  Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer, 2000, ISBN 3-540-67641-4.