Quotientenmodul

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Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein Quotientenmodul oder Faktormodul eine der grundlegenden Konstruktionen der Theorie der Moduln. Zu einem Modul M und einem Untermodul N\subseteq M ist der Quotientenmodul M/N das im Wesentlichen eindeutig bestimmte Ziel eines surjektiven Homomorphismus M\to M/N mit Kern N.

Quotientenmoduln sind das Analogon der Begriffe Faktorraum in der Theorie der Vektorräume sowie Faktorgruppe in der Gruppentheorie.

Definition[Bearbeiten]

Es sei A ein Ring. Zu einem A-(Links-)Modul M und einem Untermodul N\subseteq M ist der Quotientenmodul M/N die Menge der Äquivalenzklassen von Elementen von M nach der Äquivalenzrelation

m_1\equiv m_2\mod N\iff m_1-m_2\in N

mit der eindeutig bestimmten Modulstruktur, für die die kanonische surjektive Abbildung M\to M/N ein Homomorphismus ist:

a\cdot (m+N)=am+N.

Eigenschaften[Bearbeiten]

M/(M\cap N)\cong(M+N)/N.
Für Untermoduln N\subseteq Q\subseteq P gilt
(P/N)/(Q/N)\cong P/Q.
  • Es gibt eine kanonische Entsprechung zwischen Isomorphieklassen von Monomorphismen mit Ziel M und Isomorphieklassen von Epimorphismen mit Quelle M; einem Monomorphismus i\colon N\to M entspricht der Quotientenmodul M/i(N), einem Epimorphismus p\colon M\to Q der Untermodul \ker p.
  • Ist ein Modul endlich erzeugt, oder hat er eine endliche Länge, so gilt dies auch für jeden Quotientenmodul.
  • Ist B eine (unitäre, assoziative) A-Algebra, so ist
B\otimes_A(M/N)\cong(B\otimes_AM)/U;
dabei steht U für das Bild von B\otimes_AN in B\otimes_AM.
  • Ist I ein (zweiseitiges) Ideal in A, so ist der Faktormodul A/I dasselbe wie der Faktorring A/I.