Rücktransport

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In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik bezeichnet man als Pullback oder Rücktransport (auch: Zurückziehung, Rückzug) Konstruktionen, die ausgehend von einer Abbildung f\colon X\to Y und einem Objekt E, das in irgendeiner Weise zu Y gehört, ein entsprechendes, „entlang von f zurückgezogenes“ Objekt für X liefern; es wird häufig mit f^*E bezeichnet.

Das duale Konzept heißt meist Pushforward.

In der Kategorientheorie ist Pullback eine andere Bezeichnung für das Faserprodukt. Das duale Konzept wird hier Pushout, cokartesisches Quadrat oder Fasersumme genannt.

Motivation: Der Rücktransport einer glatten Funktion[Bearbeiten]

Sei f \colon M \to N ein Diffeomorphismus zwischen glatten Mannigfaltigkeiten und sei \psi \colon N \to \R eine glatte Funktion auf N. Dann ist der Rücktransport von \psi bezüglich f definiert durch

f^*\colon C^\infty(N) \to C^\infty(M) mit (f^*(\psi))(x) = \psi(f(x))\,.

Der Rücktransport f^*\psi ist also eine glatte Funktion M \to \R.

Schränkt man die Funktion \psi auf eine offene Teilmenge U \subset N ein, so erhält man ebenso eine glatte Funktion auf f^{-1}(U) \subset M. Der Rücktransport ist also ein Morphismus zwischen den Garben der glatten Funktionen von N und M.

Der Rücktransport eines Vektorbündels[Bearbeiten]

Seien M und N topologische Räume, \pi \colon E \to N ein Vektorbündel über N und f \colon M \to N eine stetige Abbildung. Dann ist das zurückgezogene Vektorbündel \pi_{E'} \colon E' \to M definiert durch

E' := \{(x,e) \in M \times E | f(x) = \pi(e)\}

zusammen mit der Projektion \pi_{E'}(x,e) := x.[1] Meist notiert man dieses Vektorbündel mittels f^*E und nennt es auch Pullbackbündel von E bezüglich f.

Ist \omega \in \Gamma(N,E) ein Schnitt im Vektorbündel E, so ist f^*\omega \in \Gamma(M,f^*E) der zurückgezogene Schnitt, der durch

(f^*\omega)_p = \omega_{f(p)}

für alle p \in M gegeben ist.

Das zurückgezogene Vektorbündel ist ein Spezialfall eines Faserproduktes. Im Bereich der Differentialgeometrie werden meist glatte Mannigfaltigkeiten anstatt beliebiger topologischer Räume M und N betrachtet. Dann wird auch zusätzlich gefordert, dass die Abbildung f \colon M \to N und das Vektorbündel differenzierbar sind.

Dualer Operator[Bearbeiten]

Seien \pi_E \colon E \to N und \pi_F \colon F \to M zwei Vektorbündel und \phi \colon M \to N eine stetige Abbildung, so dass \phi^* \colon E \to F der entsprechende Rücktransport ist. Der duale Operator des Rücktransports ist der Pushforward \phi_* \colon F \to E von \phi.

Rücktransport bestimmter Objekte[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt sind M und N glatte Mannigfaltigkeiten und sei f \colon M \to N eine glatte Abbildung.

Glatte Funktionen[Bearbeiten]

Die Menge C^\infty(M) der glatten Funktionen \psi \colon N \to \R kann auf natürliche Weise mit dem Vektorraum \Gamma^\infty(M,M \times \R) der glatten Schnitte im Vektorbündel \textstyle \coprod_{p \in M} \R \cong M \times \R aufgefasst werden.[2] Entsprechend kann der Rücktransport einer glatten Funktion (f^*(\psi))(x) = \psi(f(x)) auch als Rücktransport eines glatten Schnittes des Vektorbündels M \times \R aufgefasst werden.

Differentialformen[Bearbeiten]

Da die Menge der Differentialformen ein Vektorbündel bilden, kann man den Rücktransport einer Differentialform untersuchen.

Ist f\colon M\to N eine differenzierbare Abbildung und \omega \in \Gamma(N, \Lambda^k(T^*N)) eine k-Form auf N, so ist die auf M zurückgezogene Differentialform f^*\omega, die im Fall von 1-Formen durch

(f^*\omega)_p(X)=\omega_{f(p)}(f_{*p}X)

für Tangentialvektoren X\in T_pM im Punkt p\in M gegeben.

Literatur[Bearbeiten]

  • Otto Forster: Riemannsche Flächen (= Heidelberger Taschenbücher 184). Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08034-1 (Englisch: Lectures on Riemann Surfaces (= Graduate Texts in Mathematics 81). Corrected 2nd printing. ebenda 1991, ISBN 3-540-90617-7).
  • R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Allen Hatcher: Vector Bundles & K-Theory. Version 2.1, May 2009, S. 18 online (PDF; 1,11 MB).
  2. John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S.111.