Radiale Verteilungsfunktion

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Dieser Artikel behandelt die radiale Verteilungsfunktion in der Statistischen Physik. Für die radiale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in der Quantenmechanik, siehe dort.

Die radiale Verteilungsfunktion (rdf) g_{AB}(r) zwischen zwei Teilchensorten A und B beschreibt die Häufigkeit mit der man ein Teilchen der Sorte B im Abstand r von einem Teilchen der Sorte A findet, bezogen auf die Häufigkeit, dass zwei Teilchen eines idealen Gases in diesem Abstand vorliegen. Die radiale Verteilungsfunktion ist somit dimensionslos [1].

Abbildung 1: Schema zur Bestimmung der rdf

Zur Bestimmung der radialen Verteilungsfunktion zählt man wie in Abbildung 1 die Zahl der Teilchen der Sorte B (blau) in der Kugelschale mit Radius r und Dicke dr (\lim dr \to 0) um ein Teilchen der Sorte A (dunkel rot). Dadurch erhält man ein Histogramm, welches die radiale Verteilungsfunktion annähert.

Die radiale Verteilungsfunktion kann im NVT-Ensemble auch aus der N-Punkt-Wahrscheinlichkeitsdichte p_N(\vec{r}^N)=\exp(-\beta \mathcal{H}(\vec{r}^N))/Z_N(V,T) für eine nicht geschwindigkeitsabhängigen Hamiltonfunktion \mathcal{H}(\vec{r}^N) erhalten werden. Dazu normiert man die 2-Punkt-Wahrscheinlichkeitsdichte (welche man durch abintegrieren von N-2 Orten und allen Geschwindigkeiten aus der N-Punkt-Wahrscheinlichkeitsdichte erhält) mit \frac{N!}{(N-2)!} \frac{1}{\rho^2}, wobei \rho=N/V die mittlere Teilchenzahldichte ist:

g_N(r_1,r_2)=\frac{N!}{(N-2)!} \frac{1}{\rho^2}p^{(2)}_N(r_1,r_2).

Im Thermodynamischen Limes gilt:

g(r_1,r_2)=\lim_{N \to \infty, V\to \infty, \frac{N}{V}=\text{const}} g_N(r_1,r_2). In einem homogenen System ist g(r_1,r_2)=g(r_1-r_2)=:g(r)
Radiale Verteilungsfunktion einer Lennard-Jones-Flüssigkeit. Die radiale Verteilungsfunktion nimmt um r=0 praktisch den Wert 0 an, da die Teilchen mit einem Lennard-Jones-Potential wechselwirken und somit praktisch nicht überlappen können.

Paarverteilungsfunktion[Bearbeiten]

Die Paarverteilungsfunktion (auch Paarkorrelationsfunktion) g_{AB}(\vec{r}) hängt nicht nur vom Abstand r ab, sondern auch von den Winkeln \theta und \phi (wegen \vec r = \vec r (r, \theta, \phi)). Die (statische) Paarkorrelationsfunktion ist gegeben durch:

g(\vec{r})=\frac{V}{N^2}\left\langle \sum_{i \neq j} \delta(\vec{r}-(\vec{R}_i-\vec{R}_j)) \right\rangle.

Dieses Ergebnis erhält man aus der Berechnung der (kollektiven) Van-Hove-Korrelationsfunktion G(\vec{r},t):=\frac{V}{N} \langle \rho(\vec{\tilde r},\tilde t)\rho(\vec{\tilde{\tilde{r}}},\tilde{\tilde{t}}) \rangle[2], indem man die Definition der Dichte \rho(\vec{\tilde r},\tilde t)=\sum_{i=1}^N \delta(\vec{\tilde r}-\vec{\tilde R}_i(t)) einsetzt, über \vec{\tilde r} abintegriert und anschließend bei t=0 auswertet. Dabei ist zu beachten, dass G(\vec{r},0):=\delta(\vec{r})+\frac{N}{V}g(\vec{r})

Anwendungen[Bearbeiten]

Mithilfe der radiale Verteilungsfunktion kann man durch Fouriertransformation den Strukturfaktor bestimmen.

Die radiale Verteilungsfunktion spielt in der Kirkwood-Buff-Theorie eine wichtige Rolle.

In einem homogenen System[3] gibt die Paarkorrelationsfuktion g(\vec{r}) das „Potential of mean forcew(\vec{r}) an, welches durch die Zuweisung g(\vec{r}) \overset{!}{=}\exp(-\frac{w(\vec{r})}{k_B T}) definiert wird.

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Molecular Modelling: Principles and Applications, Pearson Education, 2001, ISBN 0582382106, Seite 310 ff, Google Books
  2. mit \vec{r}=\vec{\tilde r}-\vec{\tilde \tilde r}, t=\tilde t - \tilde \tilde t
  3. In homogenen Systemen gilt: g(\vec{r}_1, \vec{r}_2)=g(\vec{r}_1+\vec{h}, \vec{r}_2+\vec{h}). Wählt man \vec{h}=-\vec{r}_2, so erhält man g(\vec{r}):=g(\underbrace{\vec{r}_1-\vec{r}_2}_{\overset{!}{= \vec{r}}}, \vec{0})