Radiant (Einheit)

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Physikalische Einheit
Einheitenname Radiant
Einheitenzeichen \mathrm{rad}
Physikalische Größe(n) Ebener Winkel
Formelzeichen Bevorzugte Winkelbezeichnungen sind griechische Kleinbuchstaben (\alpha, \beta, \gamma ...)
Dimension \mathsf{\frac{L}{L} = 1}
System Internationales Einheitensystem
In SI-Einheiten \mathrm{1 \, rad = 1 \, \frac{1 \; m}{1 \; m} = 1}
Benannt nach lateinisch radius, „Strahl“
Siehe auch: Winkelmaße

Der Radiant (Einheitenzeichen: rad) dient zur Angabe der Größe eines ebenen Winkels. Er ist eine abgeleitete Einheit im SI-Einheitensystem.

Der Winkel in Radiant ist die Länge eines Kreisbogens geteilt durch den Radius des Kreises. Der Winkel von 1 Radiant schneidet also aus der Umfangslinie eines Kreises mit 1 Meter Radius einen Bogen der Länge 1 Meter heraus. Da der Vollkreis (360°) den Umfang, also die Bogenlänge, von 2 \pi \cdot r hat, beträgt der Vollwinkel 2 \pi rad.

Radiant im SI[Bearbeiten]

Der Winkel, der aus dem Kreisumfang die Länge des Kreisradius herausschneidet, beträgt 1 Radiant, der Vollwinkel also 2\pi Radiant.

Im Internationalen Einheitensystem (SI) ist Radiant der besondere Name für die dimensionslose, kohärente, abgeleitete SI-Einheit m/m. Aufgrund dieser Eigenschaften kann er in Rechnungen auch einfach durch 1 ersetzt werden, d. h. 1 rad = 1. Er kann auch mit den SI-Präfixen kombiniert werden, z. B. als Milliradiant (mrad) [1]. Durch das nicht notwendige, aber bewusst vorgenommene Hinzufügen des Einheitenzeichens rad in Größenwerten lässt sich in manchen Fällen darauf hinweisen, welche physikalische Größe gemeint ist, ohne sie namentlich anzugeben.

Umrechnung zwischen Radiant und Grad[Bearbeiten]

Chart zur Umrechnung zwischen Radiant und Grad
Häufig benötigte Werte:
Grad Radiant
0^\circ 0
45^\circ \frac{1}{4} \pi
57^\circ\, 17'\, 44'' \approx 1
57{,}29577951^\circ
90^\circ \frac12 \pi
180^\circ \pi
270^\circ \frac32\pi
360^\circ 2\pi
3{,}44' 1 \text{mrad}
0{,}206'' 1 \mu \text{rad}

Der Vollwinkel hat 2 \pi Radiant oder 360 Grad; daher gilt:


2\pi\,\mathrm{rad} = 360^\circ

1\,\mathrm{rad} = \frac {360^\circ} {2 \pi} = \frac {180^\circ} {\pi} \approx 57{,}29577951^\circ

oder:


360^\circ = 2\pi\,\mathrm{rad}

1^\circ = \frac{2\pi}{360}\,\mathrm{rad} = \frac{\pi}{180}\,\mathrm{rad} \approx 0{,}017453293\,\mathrm{rad}

Der Faktor für die Umrechnung von Radiant auf Grad ist also \frac{180^\circ}{\pi} \ \left(= 1\,\mathrm{rad} = 1\right)

Beispiele:

  • \alpha = \frac{3}{2}\,\pi\,\mathrm{rad} = \frac{3}{2}\,\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3}{2} \cdot 180^\circ = 270^\circ
  • \beta = 45^\circ = 45^\circ \cdot \frac{\pi}{\displaystyle 180^{\circ}} = \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\,\mathrm{rad}

Umrechnung zwischen Radiant und anderen Winkelmaßen[Bearbeiten]

Hierfür ersetzt man in den obigen Formeln den Winkel 360° durch den entsprechenden Wert des Vollwinkels im anderen Winkelmaß, also bei einer Winkelangabe in Gon

\mathrm{2\pi\ rad=360^\circ = 400\ gon}

Damit ergeben sich die vorstehenden Beispiele zu α = 300 gon und β = 50 gon.

Taschenrechner und Computer[Bearbeiten]

Wissenschaftliche Taschenrechner berechnen Winkelfunktionen wahlweise in Radiant oder in Grad, manchmal zusätzlich auch in Gon. Der Modus zur Berechnung in Radiant ist auf den meisten Taschenrechnern mit „RAD“ oder "R" gekennzeichnet.

In mathematischen Bibliotheken für Programmiersprachen verwenden die Winkelfunktionen stets das Bogenmaß. Um Gradangaben zu erhalten, müssen die obenstehenden Umrechnungsformeln angewandt werden.

Historisches[Bearbeiten]

Im SI war zunächst offengelassen worden, ob Radiant und Steradiant abgeleitete Einheiten oder Basiseinheiten sind; für beide wurde die Klasse der „ergänzenden Einheiten“ geschaffen. 1980 empfahl das CIPM, diese ergänzenden Einheiten als abgeleitete zu interpretieren. Dem folgte 1995 die 20. CGPM und beschloss in Resolution 8 die Aufhebung der Klasse der ergänzenden Einheiten.

Quellen[Bearbeiten]

  1. BIPM – SI-Broschüre, 8. Auflage, März 2006, Abschnitt 2.2.2, Tabelle 3: Kohärente abgeleitete SI-Einheiten mit besonderen Namen und Symbolen.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Radiant – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien