Radikal (Mathematik)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der mathematischen Disziplin der Algebra gibt es verschiedene Bedeutungen des Wortes Radikal.

In der Ringtheorie[Bearbeiten]

Primradikal[Bearbeiten]

Es sei R ein Ring mit Einselement. Der Durchschnitt über alle Primideale von R heißt das Primradikal von R. Es ist das kleinste Semiprimideal und ein Nilideal.

Im Fall eines kommutativen Ringes stimmt es mit dem Nilradikal (s.u.) überein.

Kommutativer Fall: Radikal eines Ideales und Nilradikal[Bearbeiten]

Es sei R ein kommutativer Ring mit 1 und \mathfrak{a} \subset R ein Ideal in R. Dann bezeichnet man mit

\sqrt{\mathfrak{a}} := \{x \in R \mid \exists r \in \Bbb N: x^r \in \mathfrak{a}\}

das Radikal von \mathfrak{a}. Teilweise wird dieses auch mit r(\mathfrak a) oder mit \mathfrak r (\mathfrak a) bezeichnet.[1] Es ist ein Ideal in R.

Ein Ideal, das mit seinem Radikal identisch ist, nennt man Radikalideal. Jedes Semiprimideal ist ein Radikalideal.

Das Nilradikal oder nilpotente Radikal eines Ringes R ist \sqrt{(0)}, also die Menge der nilpotenten Elemente des Ringes. Teilweise wird es auch mit \operatorname{nil}(R) oder mit  \mathfrak N_R bzw. mit  \mathfrak n_R bezeichnet.[2][3] Es ist gleich dem Primradikal, also dem Schnitt aller Primideale. Ist das Nilradikal das Nullideal, d.h. ist die Null das einzige nilpotente Element, so heißt der Ring reduziert.

Jacobson-Radikal[Bearbeiten]

Der Schnitt aller maximalen Linksideale eines Ringes wird als Jacobson-Radikal bezeichnet.

Auflösung eines Polynoms durch Radikale[Bearbeiten]

In der Galois-Theorie beschäftigt man sich mit der Auflösung von Polynomen in Radikale, also in Faktoren x-a, wobei a einen Ausdruck beschreibt, der lediglich durch rationale Zahlen, mittels der vier Grundrechenarten sowie unter Verwendung von Wurzeln darstellbar sein muss.

In der Gruppentheorie[Bearbeiten]

Das Radikal einer Gruppe ist der größte auflösbare Normalteiler.

In der Zahlentheorie[Bearbeiten]

Das Radikal einer ganzen Zahl ist das Produkt ihrer unterschiedlichen Primfaktoren; dies ist eine multiplikative Funktion:

\displaystyle\mathrm{rad}(n)=\prod_{\scriptstyle p\mid n\atop p\text{ prim}}p

Das Radikal einer Primzahl ist die Primzahl selbst. Da gleiche Primfaktoren nur einmal gewertet werden, haben alle Potenzen einer Zahl das gleiche Radikal.

Beispiel: Die Zahl 324 hat das Radikal 6, da

\mathrm{rad}(324)=\mathrm{rad}(2^2 \cdot 3^4)=2 \cdot 3 =6 .

Die Radikale der ersten natürlichen Zahlen lauten: 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13 … (Folge A007947 in OEIS)

Eine wichtige Bedeutung spielen Radikale in der abc-Vermutung.

In der Theorie der Lie-Algebren[Bearbeiten]

Das Radikal einer (endlichdimensionalen) Lie-Algebra ist das größte auflösbare Ideal.

In der Projektiven Geometrie[Bearbeiten]

Das Radikal einer quadratischen Menge oder spezieller einer projektiven Quadrik ist die Menge der Punkte dieser Menge bzw. Quadrik, in denen der Tangentialraum aus allen Punkte des Gesamtraums besteht.

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Atiyah: Introduction To Commutative Algebra. 1969 S. 8
  2. Isaacs: Algebra, a graduate course. S. 420
  3. Atiyah: Introduction To Commutative Algebra. 1969 S. 5