Radonmaß

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Im mathematischen Gebiet der Maßtheorie sind Radonmaße (benannt nach Johann Radon) Maße auf der Borelschen σ-Algebra eines Hausdorff-Raums mit bestimmten Regularitätseigenschaften. Der Begriff wird in der Fachliteratur nicht einheitlich verwendet.

Eine Definition (von Laurent Schwartz [1]) lautet:

Ein Radonmaß ist ein Maß auf der Borelschen σ-Algebra eines Hausdorff-Raums, das lokal-endlich und von innen regulär ist.

Dabei bedeutet lokal-endlich: Für jedes x \in X existiert eine offene Umgebung U mit \mu(U) < \infty. "Von innen regulär" bedeutet : \mu(A)=\sup \{ \mu(K) \mid K\subset A,\ K\ \textrm{kompakt} \} für alle messbaren Mengen A.

Beispiele für Maße mit dieser Regularitätseigenschaft sind:

Zu dem Begriff des Radonmaßes kommt man in natürlicher Weise, wenn man positive \left(f\ge 0 \Rightarrow \int f \ge 0 \right) lineare Funktionale\int“ (sogenannte Radon-Integrale) auf C_c(X) (den stetigen, reellwertigen Funktionen mit kompaktem Träger) auf einem lokalkompakten Hausdorff-Raum untersucht. In solchen lokalkompakten Räumen ist die Eigenschaft der Lokal-Endlichkeit eines Maßes äquivalent zu Endlichkeit des Maßes auf kompakten Mengen (siehe Borelmaß).

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Laurent Schwartz: Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures (= Studies in Mathematics. Bd. 6). Oxford University Press, London 1973, ISBN 0-19-560516-0.

Literatur[Bearbeiten]