Radonmaß

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Das Radonmaß oder Radon-Maß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Es handelt sich um ein spezielles Maße auf der Borelschen σ-Algebra eines Hausdorff-Raums mit bestimmten Regularitätseigenschaften. Der Begriff wird in der Fachliteratur jedoch nicht einheitlich verwendet. Die in diesem Artikel präferierte Definition ist (laut Jürgen Elstrodt) „besonders vorteilhaft für die Behandlung des Darstellungssatzes von Riesz“.[1] Benannt sind die Radonmaße nach dem Mathematiker Johann Radon.[2]

Definition[Bearbeiten]

Eine Definition (von Laurent Schwartz[3]) lautet:

Ein Radonmaß ist ein Maß auf der Borelschen σ-Algebra eines Hausdorff-Raums, das lokal-endlich und von innen regulär ist.

Dabei bedeutet lokal-endlich: Für jedes x \in X existiert eine offene Umgebung U mit \mu(U) < \infty.

Von innen regulär bedeutet:

\mu(A)=\sup \{ \mu(K) \mid K\subset A,\ K\ \textrm{kompakt} \}

für alle messbaren Mengen A.

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiele für Maße mit dieser Regularitätseigenschaft sind:

Zu dem Begriff des Radonmaßes kommt man in natürlicher Weise, wenn man positive \left(f\ge 0 \Rightarrow \int f \ge 0 \right) lineare Funktionale\int“ (sogenannte Radon-Integrale) auf C_c(X) (den stetigen, reellwertigen Funktionen mit kompaktem Träger) auf einem lokalkompakten Hausdorff-Raum untersucht. In solchen lokalkompakten Räumen ist die Eigenschaft der Lokal-Endlichkeit eines Maßes äquivalent zu Endlichkeit des Maßes auf kompakten Mengen (siehe Borelmaß).

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 7. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17904-4, S. vii.
  2.  Guido Walz (Hrsg.): Radon, Johann Karl August. In: Lexikon der Mathematik. 1 Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  3. Laurent Schwartz: Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures (= Studies in Mathematics. Bd. 6). Oxford University Press, London 1973, ISBN 0-19-560516-0.