Rangsatz

Der Rangsatz oder Dimensionssatz ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er zeigt einen Zusammenhang zwischen der Dimension des Bildes $\mathrm{im}(f)$ und der des Kerns $\mathrm{ker}(f)$ einer linearen Abbildung $f$ von einem Vektorraum $V$ in einen Vektorraum $W$:

$\dim V = \dim \mathrm{ker}(f) + \dim \mathrm{im}(f)$

Der Satz gilt für Vektorräume beliebiger (auch unendlicher) Dimension. Er ist aber vor allem für endlichdimensionale Vektorräume von Bedeutung, da man in diesem Fall etwa die Dimension des Bildraums als $\dim \mathrm{im}(f) =\dim V - \dim \mathrm{ker}(f)$ berechnen kann. Genauer gilt im endlichdimensionalen Fall: Ist $\{b_1,\ldots,b_k\}$ eine Basis von $\mathrm{ker}(f)$, die durch $\{a_1,\ldots,a_d\}$ zu einer Basis von $V$ ergänzt wird, dann ist $\{f(a_1),\ldots,f(a_d)\}$ eine Basis von $\mathrm{im}(f)$.

Verwendet man die Bezeichnungen Defekt ($\mathrm{def}$) für die Dimension des Kerns und Rang ($\mathrm{rg}$) für die Dimension des Bildes, lautet der Satz:

$\dim V = \mathrm{def}(f) + \mathrm{rg}(f)$

Eine weitreichende Verallgemeinerung des Rangsatzes ist die Aussage, dass die alternierende Summe der Dimensionen der einzelnen Komponenten eines Kettenkomplexes gleich der alternierenden Summe der Dimensionen seiner Homologiegruppen ist. Siehe dazu Kettenkomplex.

Literatur

• Kowalsky und Michler: Lineare Algebra, Gruyter, ISBN 978-3110179637, Seite 58 (Satz 3.2.13)