Rational elliptische Funktionen

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Darstellung der rational elliptischen Funktionen zwischen x=-1 und x=1 für die Ordnungen 1,2,3 und 4 mit dem Selektivfaktor ξ=1,1.

Die Rational elliptische Funktionen stellen in der Mathematik eine Reihe von rationalen Funktionen mit reellen Faktoren dar. Sie werden zum Entwurf von Übertragungsfunktionen bei Cauer-Filtern in der elektronischen Signalverarbeitung verwendet.

Eine bestimmte rational elliptische Funktion wird durch ihre Ordnung n und einem reellen Selektivfaktor ξ ≥ 1 charakterisiert. Formal sind die rational elliptischen Funktionen mit dem Parameter x definiert als:

R_n(\xi,x)\equiv \mathrm{cd}\left(n\frac{K(1/L_n)}{K(1/\xi)}\,\mathrm{cd}^{-1}(x,1/\xi),1/L_n\right)

wobei die Funktion cd(·) eine abgeleitete jacobische elliptische Funktion, bestehend aus den cosinus amplitudinis und den delta amplitudinis darstellt. K(·) steht für das elliptische Integral erster Art und L_n(\xi)=R_n(\xi,\xi) stellt einen Diskriminierungsfaktor dar, welcher für |x|\ge\xi gleich dem kleinsten Betragswert von R_n(\xi,x) ist.

Ausdruck als rationale Funktion[Bearbeiten]

Für Ordnungen in der Form n=2a3b, mit a und b nichtnegativ ganzzahlig, können die rational elliptische Funktionen durch analytische Funktionen ausgedrückt werden.

Für gerade Ordnung n können die rational elliptischen Funktionen in diesen Fällen als Quotient zweier Polynome, beide mit Ordnung n, ausgedrückt werden als:

R_n(\xi,x)=r_0\,\frac{\prod_{i=1}^n (x-x_i)}{\prod_{i=1}^n (x-x_{pi})}      (n gerade)

mit den Nullstellen xi und den Polstellen xpi. Der Faktor r0 wird so gewählt, dass R_n(\xi,1)=1 gilt.

Für ungerade Ordnung ergibt sich ein Pol bei x=∞ und eine Nullstelle bei x=0, womit rational elliptischen Funktionen bei ungerader Ordnung in der Form

R_n(\xi,x)=r_0\,x\,\frac{\prod_{i=1}^{n-1} (x-x_i)}{\prod_{i=1}^{n-1} (x-x_{pi})}      (n ungerade)

ausgedrückt werden können.

Damit lassen sich die ersten Ordnungen der rational elliptische Funktionen formulieren:

R_1(\xi,x)=x
R_2(\xi,x)=\frac{(t+1)x^2-1}{(t-1)x^2+1}, mit t \equiv \sqrt{1-\frac{1}{\xi^2}}.
R_3(\xi,x)=x\,\frac{(1-x_p^2)(x^2-x_z^2)}{(1-x_z^2)(x^2-x_p^2)}, mit G\equiv\sqrt{4\xi^2+(4\xi^2(\xi^2\!-\!1))^{2/3}}, x_p^2\equiv\frac{2\xi^2\sqrt{G}}{\sqrt{8\xi^2(\xi^2\!+\!1)+12G\xi^2-G^3}-\sqrt{G^3}}, x_z^2=\xi^2/x_p^2

Weitere Ordnungen lassen sich dann mittels niedriger Ordnungen mittels der Verschachtelungseigenschaft bilden:

R_4(\xi,x)=R_2(R_2(\xi,\xi),R_2(\xi,x))=\frac{(1+t)(1+\sqrt{t})^2x^4-2(1+t)(1+\sqrt{t})x^2+1}{(1+t)(1-\sqrt{t})^2x^4-2(1+t)(1-\sqrt{t})x^2+1}
R_5(\xi,x), keine rationale Funktion.
R_6(\xi,x)=R_3(R_2(\xi,\xi),R_2(\xi,x))\,

Eigenschaften[Bearbeiten]

Normalisierung[Bearbeiten]

Alle rational elliptische Funktionen sind bei x=1 auf 1 normiert:

R_n(\xi,1)=1

Verschachtelung[Bearbeiten]

Bei der Eigenschaft der Verschachtelung gilt:

R_m(R_n(\xi,\xi),R_n(\xi,x))=R_{m\cdot n}(\xi,x)

Aus der Eigenschaft zur Verschachtelung folgt unmittelbar die obige Regel zur Angabe von bestimmten Ordnungen als rationale Funktion, da sich R_2 und R_3 als geschlossener analytischer Ausdruck angeben lassen. Damit lassen sich alle Ordnungen n=2a3b in Form von analytischen Funktionen angeben.

Grenzwerte[Bearbeiten]

Die Grenzwerte der rational elliptische Funktionen für ξ→∞ lassen sich als Tschebyschow-Polynome erster Art Tn ausdrücken:

\lim_{\xi=\rightarrow\,\infty}R_n(\xi,x) = T_n(x)

Symmetrie[Bearbeiten]

Es gilt allgemein:

R_n(\xi,-x)=R_n(\xi,x) für gerade n
R_n(\xi,-x)=-R_n(\xi,x)\, für ungerades n

Welligkeit[Bearbeiten]

R_n(\xi,x) hat eine einheitliche Welligkeit von ±1 im Intervall -1≤x≤1.

Kehrwert[Bearbeiten]

Es gilt allgemein:

R_n(\xi,\xi/x)=\frac{R_n(\xi,\xi)}{R_n(\xi,x)}

Die bedeutet, dass die Pole und Nullstellen paarweise auftreten müssen und der Beziehung:

x_{pi}x_{zi}=\xi\,

genügen müssen. Ungerade Ordnungen weisen somit eine Nullestelle bei x=0 und eine Polstelle bei Unendlich auf.

Quellen[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  •  Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen. 2. Auflage. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-49324-2.