Raumfüllung

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Raumfüllung bzw. Parkettierungen des dreidimensionalen Raumes bezieht sich auf das Ausfüllen von (in der Regel) 3-dimensionalen euklidischen Räumen mit Gebilden, die höchstens dieselbe Dimension besitzen wie dieser Raum. Für den zweidimensionalen Fall der Parkettierung, siehe Parkettierung. Raumfüllungen können trivialerweise vollständig sein, d. h. das gesamte Volumen wird belegt (wie bei einem vollständig gefüllten Glas), oder teilweise, was zu dem interessanten Problem der räumlich dichtesten Kugelpackung führt. In vielen praktischen Anwendungen ist man daran interessiert, die Dichte der Füllung zu optimieren, zum Beispiel in der Verpackungsindustrie. Raumfüllungen mathematisch abstrahiert findet man u. a. bei den raumfüllenden Kurven, wo fraktale Gebilde mit einer gebrochenzahligen Dimension kleiner der Raumdimension n und größer als n−1 zur Füllung benutzt werden. Natürliche Quasi-Fraktale dieser Art finden sich häufig als Versorgungsnetzwerke in biologischen Organismen (Blutgefäßsystem, Tracheensystem).

Raumfüllung mit Polyedern[Bearbeiten]

Eine lückenlose Raumfüllung durch Polyeder wird auch als Parkettierungen des dreidimensionalen Raumes bezeichnet. Versucht man den Raum mit Polyedern einer Art zu füllen, gibt es unter den konvexen Polyedern, die durch regelmäßige Vielecke begrenzt sind, genau fünf, die den Raum alleine füllen: Würfel, dreieckiges und sechseckiges Prisma, Oktaederstumpf und der verdrehte Doppelkeil (Johnson-Körper J26, auch Gyrobifastigium). Unter den sogenannten Catalanischen Körpern ist lediglich der Rhombendodekaeder raumfüllend.

Kristallographische Restriktion[Bearbeiten]

Bei periodischen Parkettierungen tritt ein interessantes Phänomen auf: Deren Symmetriegruppen können nur Drehungen um 360°, 180°, 120°, 90° und/oder 60° enthalten (also Elemente der Ordnungen 1, 2, 3, 4 und 6), jedoch keine Drehungen um andere Winkel (d. h. keine Elemente der Ordnungen 5, 7 oder höher). Diesen Sachverhalt, der übrigens auch für „reale“ Kristalle gilt, bezeichnet man als „kristallographische Restriktion“. Die Ordnung 5 ist jedoch bei Quasikristallen möglich, die eine „fast“ periodische Teilung haben.

Arten der 3D-Parkettierung[Bearbeiten]

Parkettierung des Raums mittels Hexaederstümpfen und Oktaedern

Nachfolgend Beispiele, wie der dreidimensionale Raum lückenlos mit regulären bzw. semiregulären Polyedern gleicher Kantenlänge ausgefüllt werden kann. Angegeben ist jeweils die Anzahl der Polyeder, die nötig ist, um einen vollen Raumwinkel von 4π zu bilden.

Siehe auch[Bearbeiten]