Raumzeit

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Dieser Artikel bezieht sich auf die physikalische Bedeutung des Wortes. Weitere Bedeutungen unter Raumzeit (Begriffsklärung).

Die Raumzeit oder das Raum-Zeit-Kontinuum bezeichnet in der Relativitätstheorie die Vereinigung von Raum und Zeit in einer einheitlichen vierdimensionalen Struktur mit speziellen Eigenschaften (z. B. „Kausalität“, siehe unten), in welcher die räumlichen und zeitlichen Koordinaten bei Transformationen in andere Bezugssysteme miteinander vermischt werden können.

Historisch wurden Zeit und Ort als separate Begriffe verstanden. Dies ist bei Alltagsgeschwindigkeiten zulässig, aber bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit nicht mehr. Es zeigt sich dann, dass Zeit und Ort eines Ereignisses sich stets gegenseitig bedingen, unabhängig vom betrachteten physikalischen System. Die Kopplung von Raum und Zeit muss dabei einzig der Forderung genügen, dass, falls Ereignis A das Ereignis B bedingt, diese „Kausalität“ in allen Koordinatensystemen gelten muss.

Ein Koordinatensystemwechsel darf also die Kausalität von Ereignissen nicht verändern.

Die Kausalität wird mathematisch durch einen Abstandsbegriff definiert, der von den drei differentiellen Ortskoordinaten dx, dy, und dz der Ereignisse (s. u.) und ihren differentiellen Zeitpunkten dt abhängt.[1] Die Forderung nach der „Invarianz“ (Erhaltung der Kausalität) des verallgemeinerten Abstandes zweier Ereignisse führt dazu, dass physikalische Modelle in mathematischen Räumen beschrieben werden, in denen Zeit und Raum in bestimmter Weise gekoppelt sind. Es lässt sich ein absolut (absolut im Sinne der Invarianz gegenüber Koordinatenwechsel) gültiger Abstandsbegriff (z. B. die sogenannte Eigenzeit bzw. der „verallgemeinerte Abstand“, s. u.) für Raumzeitpunkte des erwähnten vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuums (sogenannte „Ereignisse“) definieren[2], jedoch ist es vom Bewegungszustand des Beobachters und der Anwesenheit von Masse bzw. Energie (z. B. in Feldern) abhängig, was davon als räumlicher bzw. als zeitlicher Abstand gemessen wird. Mathematisch wird die Raumzeit mit Hilfe einer pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit beschrieben, speziell im sogenannten Minkowski-Raum. Beispielsweise gilt in diesem Raum für das „Ereignis“ mit den vier Koordinaten cdt, dx, dy, dz – mit der Lichtgeschwindigkeit c –, dass der zugehörige „verallgemeinerte Abstand“ ds – oder genauer sein Quadrat (ds)2 – nicht wie üblich durch den Pythagoras  (ds)2 = (cdt)2 + (dx)2 + (dy)2 + (dz)2, sondern durch den indefiniten Ausdruck  (ds)2 := (cdt)2 − (dx)2 − (dy)2 − (dz)2 definiert ist (man spricht von einer nicht-trivialen „Signatur“ des vierdimensionalen Raumzeit-Kontinuums, etwa so: (+,−,−,−)).[3]

Historische Raumzeit-Konzepte[Bearbeiten]

Raumzeit nach Aristoteles

Aristoteles-Raumzeit[Bearbeiten]

Zur Konstruktion der Aristoteles-Raumzeit wird der Euklidsche Raum \mathbb{E}^3 über das Schema des Aristoteles mit der »Euklidschen Zeit« \mathbb{E}^1 zur sog. Aristoteles-Raumzeit kombiniert:

\mathcal{A} = \mathbb{E}^1 \times \mathbb{E}^3

(Die Euklidsche Zeit \mathbb{E}^1 unterscheidet sich nur dadurch vom Raum der reellen Zahlen \mathbb R, dass \mathbb {E}^1 keinen absolut definierten Nullpunkt aufweist. Gemeinsam ist beiden eine Orientierung (Zeitrichtung)).

(Der dreidimensionale Euklidische Punktraum \mathbb{E}^3 ist dabei eine Äquivalenzklasse von Räumen \mathbb{R}^3, die man erhält, wenn man den Nullpunkt des \mathbb{R}^3 an verschiedene Raumpunkte verschiebt. In der Tat ist die wichtigste Eigenschaft der Räume \mathbb{E}^n ihre Homogenität bzw. Isotropie: Kein Punkt bzw. keine Richtung ist vor anderen ausgezeichnet. Gemeinsam ist allen ein vorgegebenes Skalarprodukt, das die Orthonormalbasen vorgibt. Alle Räume sind orientiert (Händigkeit).)

Galileoraum[Bearbeiten]

Raumzeit nach Galileo

Neben der Aristoteles-Raumzeit wird auch der Galileoraum \mathcal{G} definiert. Dieser ist nur geringfügig allgemeiner als die Aristoteles-Raumzeit, indem die Räume \mathbb E^3 zwar zu verschiedenen Zeiten als verschieden angesehen werden, wobei aber die Zeit global definiert ist.

Dieser Raum basiert auf Galileos Beobachtung, dass sich die Erde um ihre Achse dreht und es einem Beobachter auf der Erde dennoch so vorkommt, als stünde die Erde still. Auch bemerkte Galileo, dass eine Flüssigkeit auch in einem Schiff, das sich gleichmäßig bewegt, immer gerade nach unten tropft.[4]

Das Problem wird dadurch gelöst, dass unabhängige Inertialsysteme \mathbb{E}^3 definiert werden, zu denen eine Relativbewegung gemessen wird. Somit hat der Beobachter auf der Erde den Eindruck, dass die Erde stillsteht und sich die Sonne um die Erde dreht, während ein Beobachter nahe der Sonne sich in einem anderen Inertialsystem befindet und damit eine Bewegung der Erde relativ zur Sonne feststellt.

Der Galileoraum zeichnet sich dadurch aus, dass zwar unterschiedliche Inertialsysteme existieren, aber nur eine absolute (d. h. allen Punkten gemeinsame) Zeit.

Newton–Cartan Raumzeit[Bearbeiten]

Raumzeit nach Newton-Cartan

Élie Cartan erweiterte die Raumdefinition um die Möglichkeit, bahnförmige Bewegungen (wie etwa die Umkreisung der Erde um die Sonne) als geradlinige Bewegungen aufzufassen, indem jeweils das Inertialsystem verschoben wird. Die von Cartan erweiterte Raumzeit wird auch als Newtonraumzeit \mathcal{N} bezeichnet.


Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie[Bearbeiten]

Allgemeines[Bearbeiten]

Hauptartikel: Minkowski-Raum

In der speziellen Relativitätstheorie (SRT) werden die dreidimensionalen Raumkoordinaten (x,y,z) um eine Zeitkomponente ct zu einem Vierervektor im sog. Minkowski-Raum \mathbb{M}^4 = \mathbb{R}^{1,3} („Raumzeit“) erweitert, also (ct,x,y,z) (bzw. in einer anderen, weniger gebräuchlichen Konvention (ict,x,y,z), mit der imaginären Einheit i).

Ein Punkt in der Raumzeit besitzt drei Raumkoordinaten sowie eine Zeitkoordinate und wird als Ereignis oder Weltpunkt bezeichnet. Für Ereignisse wird ein invarianter raum-zeitlicher Abstand definiert. Im klassischen euklidischen Raum, einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem, ist das differentielle räumliche Abstandsquadrat zweier Punkte

\,\mathrm ds^2=\mathrm dx^2+\mathrm dy^2+\mathrm dz^2.

Da die n-dimensionale euklidische Norm lediglich unter Galilei-Transformationen konstant bleibt, nicht mehr aber unter Lorentz-Transformationen, wird ein für alle Beobachter identischer (verallgemeinerter) invarianter Abstand definiert:

\,\mathrm ds^2:=\eta_{\mu\nu}\mathrm dx^\mu \mathrm dx^\nu = c^2 \mathrm dt^2 - \mathrm dx^2 - \mathrm dy^2 - \mathrm dz^2.

Dies ist die quadrierte Minkowski-Norm, welche die uneigentliche Metrik (Abstandsfunktion) der flachen Raumzeit der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) erzeugt. Sie wird durch das (indefinite) invariante Skalarprodukt auf dem Minkowski-Raum induziert, welches sich als Wirkung des (pseudo)-metrischen Tensors \, \eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1) definieren lässt:

\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \eta_{\mu\nu} x^{\mu} y^{\mu} (beachte: Einsteinsche Summenkonvention)

Der metrische Tensor \eta_{\mu\nu} wird im physikalischen Sprachgebrauch auch einfach als Minkowski-„Metrik“ oder flache „Metrik“ der Raumzeit bezeichnet, obwohl er im eigentlichen Sinne nicht mit der Metrik an sich zu verwechseln ist. Es handelt sich mathematisch vielmehr um ein Skalarprodukt auf einer pseudoriemannschen Mannigfaltigkeit.

Bei dem Linienelement \mathrm ds handelt es sich bis auf den Faktor c um die differentielle sog. Eigenzeit

\mathrm d\tau= \frac {ds}c = dt\cdot\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.

Diese wird einfach mit einer mitbewegten Uhr, also im „momentan begleitenden Inertialsystem“, gemessen, in dem das auf der Weltlinie befindliche Teilchen ruht: (v(t)\equiv 0).

Die Invarianz unter der Lorentz-Transformation definiert man durch die Forderung, dass dieser vierdimensionale Abstand (bzw. die Minkowski-Metrik) konstant (invariant) unter einer linearen Koordinatentransformation ist, wodurch sich die oben erwähnte Homogenität der Raumzeit ausdrückt.

Ein Element („Vektor“) der Raumzeit heißt zeitartig, wenn ds^2 > 0 gilt. Falls ds^2 < 0 gilt, heißt der Vektor raumartig.

Licht bewegt sich stets genau mit der Geschwindigkeit c. Somit gilt für Licht in allen Bezugssystemen \mathrm ds^2\equiv 0. Daraus ergibt sich die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, das Ausgangsprinzip der speziellen Relativitätstheorie. Darüber hinaus bleibt auch die Klassifizierung der Raumzeit-Vektoren in raumartige, lichtartige oder zeitartige Vektoren bei den zulässigen Transformationen (Lorentztransformationen) unverändert (Invarianz des Lichtkegels).

Zwei Ereignisse, für die \mathrm ds^2 negativ ist, sind raumzeitlich so weit voneinander entfernt, dass ein Lichtstrahl nicht rechtzeitig von einem zum anderen Ereignis gelangen kann. Da Information entweder über Licht oder Materie übertragen wird und Materie in der Relativitätstheorie niemals die Lichtgeschwindigkeit erreichen kann (und somit auch nicht schneller als diese sein kann), können solche Ereignisse niemals in einer Ursache-Wirkung-Beziehung stehen. Die Raumzeit ist also zweigeteilt: Ereignisse mit reellem Raumzeit-Abstand kann ein Beobachter sehen („zeitartige Vektoren“). Ereignisse, die zu weit entfernt sind und nur mit Überlichtgeschwindigkeit wahrgenommen werden könnten, weil der Raumzeit-Abstand imaginär ist  (ds^2<0), sind prinzipiell unsichtbar („raumartige Vektoren“).

Praktische Anwendung findet das Rechnen mit Raumzeitvektoren in der Kinematik schneller Teilchen.[5]

Mathematische Motivation der Minkowski-Metrik[Bearbeiten]

\Box=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\vec\nabla^2,
so ist zu erkennen, dass man auch abkürzend
\Box=\partial_\mu \partial^\mu

schreiben kann, wenn folgende zwei Vierervektoren eingeführt werden:

\partial_\mu=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\vec\nabla\right)
\partial^\mu=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},-\vec\nabla\right)
In diesem Fall tritt die Zeit als vierte Dimension auf, die Metrik \eta_{\mu\nu} muss also von einer 4\times 4-Matrix induziert sein.
(\eta_{\mu\nu})=\left(\begin{array}{cccc} \alpha_0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha_3 \end{array}\right)
  • Aufgrund der Forderung, dass es keine ausgezeichneten Raumzeit-Koordinaten gibt, können die Diagonalelemente nur den Wert \pm 1 besitzen. Für die Raumkoordinaten wird meist -1 gewählt. Dies ist aber eine Konvention, die nicht einheitlich verwendet wird.
(\eta_{\mu\nu})=\left(\begin{array}{cccc} \pm1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \mp1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \mp1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mp1 \end{array}\right)
  • Die Zeitkomponente kann nicht dasselbe Vorzeichen haben wie die Raumkomponenten. Hierzu betrachtet man wieder den D’Alembert-Operator \Box:
\Box=\partial_\mu\partial^\mu=\eta_{\mu\nu}\partial^\mu\partial^\nu
Daraus ergäbe sich als homogene Wellengleichung für eine Welle \psi
\left(\vec\nabla^2+\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\psi=0
Setzt man nun für \psi eine ebene Welle an, d. h. \psi(\vec r,t)=A\,e^{i(\vec k\cdot\vec r-\omega t)}, so ergäbe sich eine komplexe Frequenz, und damit wäre \psi exponentiell gedämpft. In diesem Fall gäbe es also keine dauerhaften ebenen Wellen, was im Widerspruch zur Beobachtung steht. Folglich muss die Zeitkomponente ein anderes Vorzeichen haben:
(\eta_{\mu\nu})=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right)
Daraus ergibt sich die korrekte homogene Wellengleichung
\left(\vec\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\psi=0

Minkowski-Diagramm[Bearbeiten]

Im Minkowski-Diagramm können die Verhältnisse geometrisch dargestellt und analysiert werden. Wegen der komplexen Eigenschaft der Zeitkomponente wird dort die Drehung der Zeitachse mit umgekehrtem Vorzeichen wie die Drehung der Koordinatenachse dargestellt.

Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie[Bearbeiten]

Nichteuklidische Geometrien[Bearbeiten]

Grundlage zur Beschreibung der Raumzeit (ct, x, y, z) in der allgemeinen Relativitätstheorie ist die pseudo-riemannsche Geometrie. Die Koordinatenachsen sind hier nichtlinear, was als Raumkrümmung interpretiert werden kann. Für die vierdimensionale Raumzeit werden die gleichen mathematischen Hilfsmittel wie zur Beschreibung einer zweidimensionalen Kugeloberfläche oder für Sattelflächen herangezogen. Als unumstößlich angesehene Aussagen der euklidischen Geometrie, insbesondere das Parallelenaxiom, müssen in diesen Theorien aufgegeben und durch allgemeinere Beziehungen ersetzt werden. Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist hier beispielsweise kein Geradenteilstück mehr. Einer Geraden in der euklidischen Geometrie entspricht die Geodäte in der nicht-euklidischen Welt; im Falle einer Kugeloberfläche sind die Geodäten die Großkreise. Die Winkelsumme im – aus Geodätenabschnitten bestehenden – Dreieck ist auch nicht mehr 180 Grad. Im Falle der Kugeloberfläche ist sie größer als 180 Grad, im Falle von Sattelflächen dagegen kleiner.

Raumzeit-Krümmung[Bearbeiten]

Die Krümmung von Raum und Zeit wird durch jede Form von Energie, wie etwa Masse, Strahlung oder Druck, verursacht. Diese Größen bilden zusammen den Energie-Impuls-Tensor und gehen in die Einsteingleichungen als Quelle des Gravitationsfeldes ein. Die daraus resultierende krummlinige Bewegung von kräftefreien Körpern entlang von Geodäten wird der Gravitationsbeschleunigung zugeschrieben – in diesem Modell existiert so etwas wie eine Gravitationskraft nicht mehr. In einem infinitesimalen Raumabschnitt (lokale Karte) besitzt das erzeugte Gravitationsfeld stets die flache Metrik der speziellen Relativitätstheorie. Dies wird durch eine konstante Raumkrümmung mit dem Faktor g/c2 beschrieben. Die Krümmung der Weltlinien (Bewegungskurven in der Raumzeit) aller kräftefreien Körper in diesem Raumabschnitt ist gleich.

In vielen populären Darstellungen der allgemeinen Relativitätstheorie wird häufig nicht beachtet, dass nicht nur der Raum, sondern auch die Zeit gekrümmt sein muss, um ein Gravitationsfeld zu erzeugen. Dass stets Raum und Zeit gekrümmt sein müssen, ist anschaulich leicht zu verstehen: Wäre nur der Raum gekrümmt, so wäre die Trajektorie eines geworfenen Steines immer dieselbe, egal welche Anfangsgeschwindigkeit der Stein besäße, da er stets nur dem gekrümmten Raum folgen würde. Nur durch die zusätzliche Krümmung der Zeit können die verschiedenen Trajektorien zustande kommen. Im Rahmen der ART kann dies auch mathematisch gezeigt werden.

Im normalen, dreidimensionalen Raum ist nur die Projektion der Weltlinien auf die Bewegungsebene sichtbar. Hat der Körper die Geschwindigkeit v, so ist die Weltlinie gegenüber der Zeitachse geneigt, und zwar um den Winkel \tan \alpha=v/c. Die Projektion der Bahn wird mit steigendem v um den Faktor 1/\sin \alpha länger, der Krümmungsradius um den gleichen Faktor 1/\sin \alpha größer, die Winkeländerung also kleiner. Die Krümmung (Winkeländerung pro Längenabschnitt) ist daher um den Faktor \sin^2\alpha kleiner.

Mit

\sin \alpha=\frac{v}{c}\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{v^2}{c^2}}}

folgt dann aus der Weltlinienkrümmung g/c2 für die beobachtete Bahnkrümmung R im dreidimensionalen Raum

R=\frac{g}{v^2} \cdot \left(1 + \frac{v^2}{c^2} \right).

Raumkrümmung und Zentrifugalbeschleunigung[Bearbeiten]

Für kleine Geschwindigkeiten vc ist die Bahnkrümmung g/v2 und entspricht damit dem Wert bei einer klassischen Zentrifugalbeschleunigung. Für Lichtstrahlen mit v=c hat der Faktor (1 + v2/c2) den Wert 2, die Krümmung entspricht also dem doppelten Wert 2g/v2 der klassischen Betrachtung. Die Winkelabweichung von Sternenlicht der Fixsterne in Sonnennähe sollte also doppelt so groß sein wie im klassischen Fall. Dies wurde von Arthur Eddington im Rahmen einer Afrikaexpedition zur Beobachtung der Sonnenfinsternis von 1919 erstmals verifiziert.

Wegen dieser kleinen Abweichung vom klassischen Wert sind die Planetenbahnen auch keine exakten Ellipsen mehr, sondern Rosetten. An der Periheldrehung des Planeten Merkur wurde dies erstmals nachgewiesen.

Symmetrien[Bearbeiten]

Die Raumzeit ist charakterisiert durch eine Anzahl von Symmetrien, die sehr wichtig für die darin geltende Physik sind. Zu diesen Symmetrien zählen neben den Symmetrien des Raumes (Translation, Rotation) auch die Symmetrien unter Lorentztransformationen (Wechsel zwischen Bezugssystemen verschiedener Geschwindigkeit). Letzteres stellt das Relativitätsprinzip sicher.

Literatur[Bearbeiten]

Philosophische Bücher:

  • Robert DiSalle: Understanding space-time: the philosophical development of physics from Newton to Einstein. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2007, ISBN 978-0-521-85790-1
  • Moritz Schlick: Raum und Zeit in der gegenwärtigen Physik. Springer, Berlin 1922, preview
  • Lawrence Sklar: Space, Time, and Spacetime, University of California Press 1977

Weblinks[Bearbeiten]

 Wiktionary: Raumzeit – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten]

  1. Auf die Differenz zweier Ereignisse kommt es an; deshalb überall das d.
  2. Genauer: für die Differenz zweier infinitesimal benachbarter Ereignisse
  3. Es gibt auch äquivalente, aber weniger gebräuchliche Konventionen des Minkowski-Raums, z. B. mit der Signatur (−,+,+,+), oder (i,+,+,+), wobei i die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen ist.
  4. Stillman Drake, Dialogue Concerning the Two Chief World Systems, Berkeley: University of California Press, 1953
  5. siehe z. B.: W. Greiner, J. Rafelski: Spezielle Relativitätstheorie, 3. Auflage, Frankfurt 1992, ISBN 3-8171-1205-X, S. 136-185