Raute

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Dieser Artikel beschreibt eine geometrische Form. Für weitere Bedeutungen, siehe Raute (Begriffsklärung)
Eigenschaften einer Raute.

Ein ebenes Viereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind, heißt Raute (Plural: Rauten) oder Rhombus (Plural: Rhomben). Dabei sind gegenüberliegende Seiten parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß.

Bezeichnungen und Darstellungen[Bearbeiten]

Neben Raute und Rhombus wird manchmal auch der Ausdruck Karo verwendet.

Die Raute ist eine Spezialform des Parallelogramms. Ein Spezialfall der Raute wiederum ist das Quadrat, das, auf der Spitze stehend, manchmal ebenfalls verallgemeinernd als Raute bezeichnet wird. Das hat seine Ursache darin, dass mit dem Begriff Quadrat manchmal nur seine kantenparallele Darstellung im Bezugssystem assoziiert wird. Im Extremfall der Spitzendarstellung wird es dann als ein anderes Objekt angesehen und bekommt somit auch einen anderen Namen.

Raute als Symbol und Schriftzeichen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Raute (Heraldik) und Raute (Symbol)

In der Heraldik heißen rautenförmige Elemente auch Wecke und Spindel, das auf die Spitze gestellte Quadrat auch Kantenwürfel.

Rauten als Schriftzeichen finden sich in Unicode im Block Geometrische Formen, beispielsweise ◆ (U+25C6 black diamond „vollflächige Raute“), ◇ (U+25C7 white diamond „hohle Raute“) und ◊ (U+25CA lozenge „Rhombus“).

Das Doppelkreuz # wird fälschlicherweise oft in Verbindung mit Telefon- und Computertastaturen als Raute bezeichnet.

Geometrie[Bearbeiten]

Beispiel eines Rhombus

Eine Raute oder ein Rhombus ist ein ebenes Viereck mit vier gleich langen Seiten (gleichseitiges Viereck).

Folgerungen

Die Raute ist ein Drachenviereck mit paarweise parallelen Seiten. Eine Raute, für die man einen rechten Winkel fordert, ist schon ein Quadrat. Um eine Raute zu konstruieren, sind zwei Bestimmungsstücke (wie zum Beispiel die Seitenlänge a und einer der beiden Winkel) notwendig.

Formeln zur Raute (zum Rhombus)
Flächeninhalt A \, = \frac{1}{2} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{BD}

A \, = \, a \cdot h_a = b \cdot h_b
A \, = \, a^2 \cdot \sin\alpha = a^2 \cdot \sin\beta

Umfang u \, = \, 4 \cdot a
Diagonalenlänge e \, = \, 2 \cdot a \cdot \cos\frac{\alpha}{2}
= 2 \cdot a \cdot \sin\frac{\beta}{2}
Diagonalenlänge f \, = \, 2 \cdot a \cdot \sin\frac{\alpha}{2}
= 2 \cdot a \cdot \cos\frac{\beta}{2}
Inkreisradius \rho \, = \, \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sin\alpha
Länge einer Seite a\, = \, \sqrt{\left(\frac{e}{2}\right )^2+\left(\frac{f}{2}\right )^2 }
Größe des Innenwinkels bei A \alpha\,
Größe des Innenwinkels bei B \beta\,
Diagonalenlängen e = \overline{AC}; \quad f = \overline{BD}

Vorkommen und Anwendung[Bearbeiten]

Zum Stern schließen sich nur diejenigen Rhomben, die die Bedingung erfüllen, dass der Zentriwinkel, also der Winkel in der Spitze, in der man sie aneinanderlegt, gleich \frac{360^\circ}{n} für eine natürliche Zahl n ist. Sie bilden dann einen n-zackigen Stern. Das gilt nicht für den dreidimensionalen Fall, hierbei lassen sich auch anderswinklige Rhomben in ihrer Spitze aneinanderfügen, und ergeben dann pyramidenförmige Spitzen.

  • Praktische Anwendungen:
    • Rautensterne wirken neutral, Sterne aus Trapezen spitz, also dynamisch, wenn die lange Halbdiagonale außen liegt, andernfalls stumpf. Das wird im Dekorationswesen bewusst verwendet.
    • Das Rhombendach ist aus vier rautenförmigen Dachflächen zusammengesetzt. Es erlaubt zu quadratischen Grundrissen um 45 Grad versetzte Dachschrägen (die das Wasser nicht über die Portale ableiten).

Durch seine Definition eignet sich jeder Rhombus für eine flächendeckende Kachelung, aber nur in zwei Hauptrichtungen (platonische Parkettierung). Hier bildet die Rautenparkettierung (mit ihrer Sonderform, dem Quadratgitter, also einem orthogonalen Raster) eine der 17 möglichen Symmetriegruppen der Parkettierungen.[1]

  • eine Besonderheit ist die aperiodische (quasikristalline) Penrose-Parkettierung zweier Rauten mit 36°/144° und 72°/108°.
  • Technische Anwendungen:
    • Das Rhombendach hat gute Wasserleiteigenschaften, da das Wasser an den unteren Spitzen abtropft, und braucht nur eine Nagelung an der oberen Spitze. Es eignet sich für Flachformplatten wie Eternit oder Blech- und Holzschindeln.
    • Bei der Rhombus- oder Rautenschalung handelt es sich im mathematischen Sinne meist nicht um rautenförmige Holzprofile, sondern um Parallelogramme (Querschnitt der liegend montierten Schallatten, die dann ebenfalls eine definierte Tropfkante haben).

Rhomboeder, Rhombendodekaeder und Rhombentriakontaeder sind Polyeder, deren Körper ausschließlich von Rauten begrenzt sind.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Bewiesen von Jewgraf S. Fedorow 1891, nach Ian Stewart: Fünfeckige Kacheln. In: Spektrum der Wissenschaft, Januar 2000, S. 106–108 (Abb. S. 108)