Rechenschieber

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Ein Rechenschieber

Ein Rechenschieber oder Rechenstab ist ein analoges Rechenhilfsmittel zur mechanisch-optischen Durchführung von Grundrechenarten, vorzugsweise der Multiplikation und Division. Je nach Ausführung können auch komplexere Rechenoperationen (unter anderem Wurzel, Quadrat, Logarithmus und trigonometrische Funktionen oder parametrisierte Umrechnungen) ausgeführt werden. Das Prinzip eines Rechenschiebers besteht in der Addition oder Subtraktion von Strecken, die sich als logarithmische Skalen auf dem festen und dem beweglichen Teil des Rechenschiebers befinden. Bis zur weiten Verbreitung des Taschenrechners waren Rechenschieber für viele Berechnungen in Schule, Wissenschaft und Technik unentbehrlich.

Geschichte[Bearbeiten]

Entwicklung der Logarithmen[Bearbeiten]

Die Geschichte des Rechenschiebers basiert auf der Entwicklung der Logarithmen. Obwohl es indische Quellen aus dem 2. Jahrhundert v. Chr. gibt, in welchen bereits Logarithmen zur Basis 2 erwähnt wurden, waren es der Schweizer Uhrmacher Jost Bürgi (1558–1632) und der schottische Mathematiker John Napier (1550–1617), die zu Beginn des 17. Jahrhunderts das erste bekannte System zur Logarithmenberechnung unabhängig voneinander entwickelten.

Das griechische Wort „Logarithmus“ bedeutet auf Deutsch Verhältniszahl und stammt von Napier. Erstmals veröffentlicht wurden Logarithmen von diesem 1614 unter dem Titel Mirifici logarithmorum canonis descriptio, was mit Beschreibung des wunderbaren Kanons der Logarithmen übersetzt werden kann.

Nachdem sich der Oxforder Professor Henry Briggs (1561–1630) intensiv mit dieser Schrift beschäftigte, nahm er mit deren Autor Kontakt auf und schlug vor, für die Logarithmen die Basis 10 zu verwenden („briggssche“ bzw. „dekadische“ Logarithmen). Diese verbreiteten sich schnell und wurden besonders in der Astronomie geschätzt.

Mit den Logarithmen war die mathematische Grundlage für die Entwicklung des mechanischen Rechenschiebers gelegt, denn die Funktionsweise des Rechenschiebers basiert für die Multiplikation und Division auf dem Prinzip der Addition bzw. Subtraktion von Logarithmen.

Entwicklung des Rechenschiebers[Bearbeiten]

Schon 1624, zehn Jahre nach der Erkenntnis der Existenz der Logarithmen durch John Napier von Merchiston, gab der englische Theologe und Mathematiker Edmund Gunter (1581–1626) erstmals seine Grundgedanken über die logarithmischen Zahlen bekannt. Mit der von ihm entwickelten „Gunterskala“, einem Stab mit logarithmisch angeordneter Skala, konnte man anfänglich nur mit Hilfe eines Stechzirkels Additions- und Subtraktionsberechnungen durchführen, indem man die logarithmischen Strecken abgriff. Das Berechnen mit dem Zirkel war jedoch sehr aufwändig und arbeitsintensiv. Bahnbrechend war die Idee des Engländers William Oughtred (1574–1660) im Jahre 1632, anstelle des Stechzirkels zwei kongruente logarithmische Skalen gerade oder auch kreisförmig zu verwenden, womit letzterer als der eigentliche Erfinder des Rechenschiebers gilt.

Auch Robert Bissaker (1654), der einen Rechenschieber mit beweglicher Zunge zwischen zwei Skalen baute, und 1657 Seth Patridge (1603–1686) trugen zur Weiterentwicklung des Rechenschiebers bei.[1] Von Patridge stammt die Idee der ebenfalls logarithmisch skalierten Zunge, welche man gegen den Stabkörper verschieben kann, wodurch Berechnungen wesentlich einfacher ausgeführt werden konnten.

Im Jahr 1722 benutzte Warner erstmals Quadrat- und Kubikskalen. Der von Isaac Newton (1643–1727) erfundene Läufer – auch Indikator genannt – wurde 1775 von John Robertson (1712–1776) umgesetzt. Er blieb jedoch über hundert Jahre lang in Vergessenheit. Diese äußerst praktische Weiterentwicklung ermöglicht durch ihre Querstrich-Markierung die Verbindung von zwei sich nicht berührenden Skalen und erhöht somit die Genauigkeit der Zungeneinstellung bzw. der Ablesung.

Die – meist auf der Rückseite der Zunge befindlichen – doppellogarithmischen Exponentialskalen wurden 1815 von dem englischen Arzt und Lexikographen Peter Mark Roget (1779–1869) erfunden. Sie dienen zur Vereinfachung von Exponentialaufgaben jeglicher Art.

Eine große Bedeutung in der Geschichte des Rechenschiebers kommt dem Franzosen Amédée Mannheim (1831–1906) zu, der im Jahre 1850 erstmals einen einheitlichen Aufbau für den Rechenstab vorschlug. Mit diesem neuen Standardrechenschieber namens „Mannheim“ wurde auch der seit dieser Ausführung transparente Läufer etabliert. Bis zum Produktionsende der Rechenschieber wurden noch zahlreiche weitere Verbesserungen eingeführt.

Das Ende des Rechenschiebers[Bearbeiten]

Die Erfindung des elektronischen Taschenrechners im Jahre 1969 löste einen regelrechten Boom in der Entwicklung dieses neuen, sehr gefragten Recheninstrumentes aus. Bereits 1972 kam mit dem HP-35 von Hewlett-Packard der erste technisch-wissenschaftliche Taschenrechner mit trigonometrischen, Exponential- und Logarithmusfunktionen auf den Markt. Taschenrechner sind vielseitiger, genauer und bequemer zu handhaben als Rechenschieber. Zudem konnte der Taschenrechner durch die erhöhte Produktion aufgrund der immensen Nachfrage immer günstiger erworben werden. Auch die Schulen begannen in der Bundesrepublik um 1975, in der DDR rund zehn Jahre später, den elektronischen Taschenrechner anstelle des mechanischen Rechenschiebers einzusetzen, was letztendlich das Ende für den einst als unentbehrlich geltenden Rechenstab und somit auch für seine Hersteller bedeutete. Daher ist der Rechenschieber heute nur noch von historischer Bedeutung – nur noch wenige junge Menschen kennen ihn, kaum einer weiß mehr mit ihm umzugehen.

Rechenschieber aus einer der letzten Baureihen: Faber-Castell Novo Duplex 2/83N

Dennoch ziehen manche den Rechenschieber dem Taschenrechner vor, da sie schon seit der Schulzeit damit rechnen und schnell und versiert Rechnungen damit ausführen können. Es gibt aber auch Privatpersonen, welche Rechenschieber aus nostalgischen Gründen behalten, und Sammler, deren Leidenschaft es ist, seltene Modelle zu tauschen oder sie zu erwerben – meist durch Kontakte oder Internetauktionshäuser. In Deutschland, jedoch auch auf internationaler Ebene wie zum Beispiel durch die seit 1991 existierende „Oughtred Society“, finden regelmäßig Treffen von Rechenschiebersammlern statt, bei denen diese ihr Sortiment und ihr Wissen über den Rechenschieber erweitern können. Gelegentlich werden dort auch sehr seltene Exemplare ausgestellt, die unter Sammlern Preise von über 100.000 Dollar erzielen. Die wohl begehrtesten Rechenschieber, die vier Originalrechenstäbe von William Oughtred, von denen jeder einzelne über 250.000 US-Dollar wert ist, befinden sich allesamt in Museen.

Hersteller von Rechenstäben[Bearbeiten]

In der Bundesrepublik Deutschland wurden Rechenstäbe z. B. von Aristo (Dennert & Pape) in Hamburg, A. W. Faber Castell in Stein bei Nürnberg, Nestler in Lahr, IWA bei Esslingen produziert. In der DDR waren es die Firmen Reiss (später VEB Mess- und Zeichengerätebau) in Bad Liebenwerda und die Meissner KG in Dresden. Beide Betriebe wurden 1974 zum VEB Mantissa in Dresden zusammengeführt.[2] Bekannte ausländische Hersteller von Rechenschiebern waren in den USA u. a. Keuffel & Esser (New York), Pickett und Post. In Japan wurden Rechenschieber bei Sun Hemmi produziert, die auch zahlreiche Rechenschieber für die amerikanische Firma Post herstellten; in Frankreich bei Graphoplex und in Großbritannien bei Bludell-Harling. Daneben existierten noch zahlreiche weitere weniger bekannte Firmen im In- und Ausland.

Anwendungen[Bearbeiten]

Armbanduhr (Fliegerchronograph) mit Rechenschieberskala außen auf dem Zifferblatt.

In den ersten zweihundert Jahren nach seiner Erfindung wurde der Rechenschieber sehr wenig genutzt. Erst Ende des 18. Jahrhunderts wurde seine Bedeutung von James Watt neu erkannt.

Aufgrund des technischen Fortschritts in der Zeit der Industriellen Revolution wurde der Rechenschieber ein vielbenutztes Instrument für technische und wissenschaftliche Berechnungen. In den 1950/1960er Jahren galt er als das Symbol der Ingenieure schlechthin, ähnlich dem Stethoskop bei den Ärzten.

Neben den Schulrechenstäben, die im Unterricht und bei einfachen Berechnungen im Alltag ihre Nutzung fanden, wurden auch viele Sonderrechenstäbe hergestellt, die oft in sehr speziellen Bereichen wie zum Beispiel in der Luftfahrt, der Elektro- und Anlagentechnik, der Chemie, beim Militär oder im Handel eingesetzt wurden. Aluminiumrechenschieber der Marke Pickett wurden auf Apollo-Raumfahrten mitgeführt, unter anderem bei Flügen zum Mond.

Aufbau[Bearbeiten]

Bauformen[Bearbeiten]

Ein Rechenschieber besteht aus einem Körper, auf dem meist mehrere parallel angeordnete Skalen angebracht sind, einer beweglichen Zunge mit gleichartigen eigenen Skalen sowie einem auf dem Körper verschiebbaren Läufer mit einer Querstrich-Markierung. Durch Verschieben der Skalen gegeneinander wird die Rechenoperation durchgeführt und an der entsprechenden Zahlenwertstelle abgelesen. Die Läufermarkierung erlaubt das Einstellen von Werten zwischen den Skalenstrichen und auch das Ablesen an den auseinander liegenden parallelen Skalen, die sich an den Kanten von Körper und Zunge nicht direkt berühren.

Die Standardskalenlänge – gemessen von der Marke „1“ bis zur Marke „10“ – der Rechenschiebermodelle ist 25 cm; kleine Ausführungen (z. B. Taschenmodelle) haben eine Skalenlänge von 12,5 cm, Büro- oder Tischmodelle von 50 cm.

Die ersten Rechenschieber wurden aus Holz, Bambus, Messing und Elfenbein gefertigt, später gab es Weiterentwicklungen mit der Verwendung von Aluminium und Kunststoff.

Varianten des Rechenschiebers sind

  1. die Rechenscheibe, d. h. ein Rechenschieber, der nicht als gerader Stab, sondern kreisförmig ausgelegt ist, auch auf der Rückseite einiger Parkscheiben zu finden, und
  2. die Rechenwalze, d. h. ein Rechenschieber, dessen Skalen auf viele (typischerweise einige Dutzend) Teile aufgeteilt zylindrisch angeordnet sind, wodurch eine größere effektive Skalenlänge (typischerweise einige Meter) und damit eine höhere Genauigkeit erreicht wird.

Da man mit dem Rechenschieber nicht direkt addieren und subtrahieren kann, gibt es auch Ausführungen, die auf der Rückseite einen Zahlenschieber (Griffeladdierer) haben.

Die Skalensysteme[Bearbeiten]

System Mannheim[Bearbeiten]

Der französische Mathematikprofessor Amédée Mannheim (1831–1906) entwickelte um 1850 eine Skalenauswahl und -anordnung für Rechenstäbe, die als erste eine große und herstellerunabhängige Verbreitung erfuhr. Mit diesem neuen Standardrechenschieber, der aus den Grundskalen C und D, den Quadratskalen A und B sowie der Sinus- und der Tangensskala bestand, wurde auch der seit dieser Ausführung transparente Läufer etabliert. Zur Verwendung der Sinus- und der Tangensskala auf der Rückseite der Zunge musste die Zunge gewendet werden. Rechenschieber mit diesem System wurden von vielen Herstellern auch als Schulrechner bezeichnet.

System Rietz[Bearbeiten]

Der deutsche Ingenieur Max Rietz (1872–1956) ergänzte 1902 das System Mannheim um die Kubikskala K und die Mantissenskala L. Teilweise kam auch eine Kehrwertskala hinzu. Das Umdrehen der Zunge zur Verwendung der Sinus- und Tangensskalen konnte bei einigen Modellen durch die Einführung von Indexlinien auf der Körperrückseite vermieden werden. Bei einigen späteren Modellen wurden die Sinus- und Tangensskalen auf die Vorderseite des Stabkörpers verlegt. Gelegentlich wurden auch die verschobenen Grundskalen CF und DF verwendet. Das System Rietz war bis zum Ende der Rechenschieberproduktion eine der meistverbreiteten Skalenanordnungen.

System Darmstadt[Bearbeiten]

Rechenschieber System Darmstadt

Der deutsche Mathematikprofessor Alwin Walther (1898–1967) entwickelte 1934 an der TH Darmstadt eine neue Skalenauswahl und -anordnung. Die Vorderseite wurde um eine pythagoreische Skala P ergänzt. Die Sinus- und Tangensskalen wurden auf die Vorderseite des Stabkörpers verlegt. Damit wurde die Zungenrückseite für drei Exponentialskalen LLn frei. Diese Verbesserungen kamen den Bedürfnissen der Ingenieure entgegen. Das System blieb bis zum Ende der Rechenschieberära neben dem System Rietz im Angebot der Hersteller.[3]

System Duplex[Bearbeiten]

Der sogenannte Duplexrechenschieber wurde von William Cox im Jahr 1891 erfunden. Diese Bezeichnung ist kein eigenständiges System, sondern die Bezeichnung für einen Rechenstab mit beidseitiger Anordnung der bereits bekannten Skalen. Besonders ab den 1950er Jahren brachten verschiedene Hersteller Duplexmodelle auf den Markt. Hierbei wurden auch noch weitere Kehrwertskalen und Wurzelskalen eingeführt. Es existieren Stäbe mit über 30 Skalen.

Spezialrechenschieber[Bearbeiten]

Auf einem Rechenschieber können spezielle Funktionen skaliert sein, wodurch er für technische Sonderanwendungen geeignet ist, für die man sonst Tabellenbücher benötigen würde.

Beispiele sind:

Rechenschieber für vermessungstechnische Berechnungen[Bearbeiten]

Bei vermessungstechnischen Berechnungen spielen die trigonometrischen Funktionen eine wichtige Rolle. Entsprechende Rechenschieber haben nicht nur Skalen für die Elementarfunktionen sinα, cosα, tanα, sondern auch für komplexere Funktionen wie cos²α, sinα cosα, 1/tan(α/2). Da im Vermessungswesen Winkel oftmals nicht in Grad, sondern in Gon mit dezimaler Unterteilung gezählt werden (90° = 100 gon), gibt es solche Rechenschieber (z.B. „Aristo-Geodät“) auch in Gon-Ausführung, so dass hier das Argument aller trigonometrischen Funktionen in Gon einzustellen ist.

Elektro-Rechenschieber[Bearbeiten]

Die sogenannten Elektro-Rechenschieber stellen eine Weiterentwicklung des Systems Rietz dar, welche speziell den Anforderungen in Elektrotechnik und Maschinenbau entgegenkommt. Die Anordnung der Skalen kann jedoch vom System Rietz abweichen. Bei einigen Modellen korrespondiert die Sinusskala S nicht mit der Grundskala C, sondern mit der Quadratskala B. Zusätzlich sind auf den Elektro-Rechenstäben zwei Exponentialskalen LL2 und LL3 angebracht. Speziell für Anwendungen in Elektrotechnik- und Maschinenbau verfügen derartige Rechenschieber über besondere Skalen zur Berechnung von Wirkungsgraden und dem Spannungsabfall in Kupferleitungen sowie spezielle Marken, die die Umrechnung von PS in kW und die Berechnung des Widerstandes von Kupferleitungen erleichtern.

Sonstige[Bearbeiten]

Daneben gibt es Rechenschieber für weitere Spezialanwendungen, z.B. zur Auswahl von Lagern oder Keilriemen im Maschinenbau.

Funktionsweise[Bearbeiten]

Die Skalen[Bearbeiten]

Auf einem Stab bzw. Schieber existieren mehrere (meist logarithmische) Skalen, die jeweils eine spezielle Funktion haben. Die in der Tabelle verwendeten Großbuchstaben entsprechen der üblichen Bezeichnung auf den meisten modernen Rechenschiebern. Jeder Rechenschieber besitzt in der Regel nur eine Auswahl der aufgezählten Skalen. Da es eine Vielzahl von Skalensystemen gibt, ist die Angabe über die Position der Skala nicht immer allgemein gültig. Zudem sind die einzelnen Systeme nicht immer eindeutig; gerade die zusätzlichen Skalen wurden von den einzelnen Herstellern unterschiedlich angeordnet.

In der Regel zeigen die Skalen von links nach rechts aufsteigende Werte. Skalen, die von links nach rechts abnehmen, sind meist rot beschriftet.

Bezeichnung Bereich Funktion Bemerkung
A 1 .. 100 x^2 \mathrel{\widehat{=}} D^2 Quadratskala zu Grundskala D auf dem Stabkörper oben.
B 1 .. 100 x^2 \mathrel{\widehat{=}} C^2 Quadratskala zu Grundskala C auf der Zunge oben.
C 1 .. 10 \!\,x Grundskala auf der Zunge.
CF 3 .. 1 .. 3 \!\,\pi x Um π versetzte Grundskala C auf der Zunge oben.
CI 10 .. 1 x^{-1} \mathrel{\widehat{=}} C^{-1} Kehrwert der Grundskala C auf der Zunge.
CIF 0,3 .. 1 .. 0,3 \!\, 1 / {\pi x} \mathrel{\widehat{=}} CF^{-1} Kehrwert der um π versetzten Grundskala C auf der Zunge.
D 1 .. 10 \!\,x Grundskala auf dem Stabkörper.
DF 3 .. 1 .. 3 \!\,\pi x Um π versetzte Grundskala D auf dem Stabkörper oben.
DI 10 .. 1 x^{-1} \mathrel{\widehat{=}} D^{-1} Kehrwert der Grundskala D auf dem Stabkörper.
DIF 0,3 .. 1 .. 0,3 \!\, 1 / {\pi x} \mathrel{\widehat{=}} DF^{-1} Kehrwert der um π versetzten Grundskala D auf dem Stabkörper.
K 1 .. 1000 x^3 \mathrel{\widehat{=}} D^3 Kuben- oder Kubikskala (etwa zum Bestimmen eines Volumens). Befindet sich meist oben auf dem Stabkörper.
L [0],0 .. [1],0 \log{x} \mathrel{\widehat{=}} \log{D} Mantissenskala. Zeigt die Mantisse des dekadischen Logarithmus. Der Numerus muss eigenständig bestimmt werden. Diese Skala ist im Gegensatz zu den anderen Skalen linear skaliert.
LL1 1,010 .. 1,11 \!\,e^{0.01x} Erste Exponentialskala. Beim Typ Darmstadt auf Rückseite der Zunge; beim Typ Duplex unten auf der Rückseite des Stabkörpers.
LL2 1,10 .. 3,0 \!\,e^{0.1x} Zweite Exponentialskala. Beim Typ Darmstadt auf Rückseite der Zunge; beim Typ Duplex unten auf der Rückseite des Stabkörpers.
LL3 2,5 .. 5•10^4 \!\,e^x Dritte Exponentialskala. Beim Typ Darmstadt auf Rückseite der Zunge; beim Typ Duplex unten auf der Rückseite des Stabkörpers.
LL01 0,99 .. 0,9 \!\,e^{-0.01x} Kehrwert zu LL1. Beim Typ Duplex oben auf der Rückseite des Stabkörpers.
LL02 1,91 .. 3,35 \!\,e^{-0.1x} Kehrwert zu LL2. Beim Typ Duplex oben auf der Rückseite des Stabkörpers.
LL03 0,39 .. 2•10^{-5} \!\,e^{-x} Kehrwert zu LL3. Beim Typ Duplex oben auf der Rückseite des Stabkörpers.
P 0,995 .. 0 \sqrt{1-(0.1x)^2} Pythagoreische Skala. Bei den Typen Darmstadt und Duplex unten auf dem Stabkörper.
S 5,5° .. 90° \sphericalangle \sin{0.1x} Sinusskala. Teilweise auch mit Kosinusskala in roter Schrift. Beim Typ Rietz oftmals auf der Rückseite der Zunge.
ST 0,55° .. 5,5°  \sphericalangle\,\mathrm{arc}\,0.01x Bogenmaßskala für kleine Winkel. Auch für Sinus und Tangens geeignet. Beim Typ Rietz oftmals auf der Rückseite der Zunge.
T oder T1 5,5° .. 45°  \sphericalangle \tan{0.1x} Tangensskala für Winkel zwischen 5,5° und 45°. Teilweise auch mit Kotangensskala in roter Schrift. Beim Typ Rietz oftmals auf der Rückseite der Zunge.
T2 45° .. 84,5°  \sphericalangle \tan{x} Tangensskala für Winkel zwischen 45° und 84,5°. Teilweise auch mit Kotangensskala in roter Schrift.
W1 1 .. 3,3  \sqrt{x} Erste feste Wurzelskala. Beim Typ Duplex unten auf der Rückseite des Stabkörpers.
W1' 1 .. 3,3  \sqrt{x} Erste bewegliche Wurzelskala. Beim Typ Duplex unten auf der Rückseite der Zunge.
W2 3 .. 10  \sqrt{10x} Zweite feste Wurzelskala. Beim Typ Duplex oben auf der Rückseite des Stabkörpers.
W2' 3 .. 10  \sqrt{10x} Zweite bewegliche Wurzelskala. Beim Typ Duplex oben auf der Rückseite der Zunge.

Der Läufer[Bearbeiten]

Der verschiebbare Läufer dient nicht nur zum genauen Ablesen und Einstellen der verschiedenen Skalen. Er besitzt oft auch zusätzliche Läuferstriche, die eine vereinfachte direkte Berechnung erlauben. Die kurzen Läuferstriche links oben oder rechts unten werden in Verbindung mit dem Hauptstrich zur Berechnung von Kreisflächen verwendet. Einige Modelle haben zusätzliche Markierungen zur Umrechnung von KW in PS oder zur direkten Rechnung mit dem Faktor 360 (z.B. für die Zinsberechnung).

Genauigkeit und Kommastellen[Bearbeiten]

Die Genauigkeit, mit der sich eine Zahl einstellen oder ablesen lässt, hängt von der Größe des Rechenschiebers ab. Bei einem 30 cm langen Rechenschieber kann man die Zahlen auf den Grundskalen C und D mit einer Genauigkeit von zwei bis drei Dezimalstellen direkt einstellen bzw. ablesen. Eine weitere Dezimalstelle kann man mit etwas Übung abschätzen. Größere Rechenschieber haben eine feinere Unterteilung der Skalen und ermöglichen damit eine genauere Rechnung.

Da die tatsächlichen Abstände numerisch äquidistanter Skalenstriche entsprechend der logarithmischen Teilung variieren, kann man größere Zahlen absolut weniger genau einstellen bzw. ablesen als kleinere Zahlen. Die relative Ungenauigkeit, also das Verhältnis der Ungenauigkeit einer Zahl zu der Zahl selbst, ist aber für alle Zahlen gleich. Deshalb ist bei mehreren aufeinander folgenden Multiplikationen nicht nur das Ergebnis, sondern auch dessen Genauigkeit unabhängig von der Reihenfolge, in der die einzelnen Multiplikationsschritte ausgeführt werden.

Der Rechenschieber zeigt allerdings nicht die Größenordnung einer Zahl an. So kann z.B. der abgelesene Wert 6 sowohl 6; 60; 600, aber auch 0,6; 0,06; 0,006 usw. bedeuten. Die Stellung des Kommas wird durch eine Überschlagsrechnung ermittelt. Dies ist für die korrekte Anwendung des Rechenschiebers unerlässlich.

Multiplikation[Bearbeiten]

Die Multiplikation ist die einfachste und zugleich ursprünglichste Rechenart des Rechenschiebers. Sie beruht auf der Rechenregel, dass der Logarithmus eines Produkts durch die Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren bestimmt werden kann.

Da die Skalen C und D auf dem Rechenschieber logarithmisch geteilt sind, erhält man durch die geometrische Addition zweier Strecken auf diesen Skalen eine Summe aus zwei Logarithmen. Zuerst wird die Anfangsmarkierung „1“ der beweglichen Skala C (auf der Zunge) über den ersten Faktor auf der festen Skala D geschoben. Der Läufer wird nun über den zweiten Faktor auf der Skala C geschoben. Das Ergebnis wird an dieser Stelle auf der Skala D abgelesen.

Beispiel für die Berechnung 2x3=6

Übersteigt das Produkt den Wert 10, lässt sich dieses nicht auf die beschriebene Weise ablesen. Man stellt sich nun vor, dass man eine virtuelle zweite D-Skala an das Ende der ersten anhängt. Dies entspricht einer Verschiebung der 10 der C-Skala über den ersten Faktor der D-Skala. Das Produkt lässt sich dann mit Hilfe des Läufers unter dem zweiten Faktor der C-Skala auf D ablesen. Dieses Vorgehen wird „Durchschieben“ bzw. „Rückschlag“ der Zunge genannt.

Beispiel für die Berechnung 2x5=10

Nach derselben Methode kann man für die Multiplikation auch die Skalen A und B verwenden. Dies ist sehr praktisch, wenn einer der Faktoren eine Quadratzahl ist oder wenn man eine Wurzel aus dem Produkt ziehen will. Für die einfache Multiplikation ist diese Vorgehensweise eher unüblich, da man durch die größere Teilung der Skalen A und B eine geringere Genauigkeit erhält.

Division[Bearbeiten]

Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Sie beruht auf der Rechenregel, dass der Logarithmus eines Quotienten (Zähler geteilt durch Nenner) gleich der Differenz aus dem Logarithmus des Dividenden (Zähler) und dem Logarithmus des Divisors (Nenner) ist.

Zuerst wird der Divisor auf der beweglichen Skala C (auf der Zunge) über den Dividenden auf der festen Skala D geschoben. Der Läufer wird nun auf die Anfangsmarkierung „1“ auf der Skala C geschoben. Das Ergebnis wird an dieser Stelle auf der Skala D abgelesen.

Beispiel für die Berechnung 5.5/2=2.75

Unterschreitet der Quotient den Wert 1, kann man das Ergebnis alternativ an der Endmarkierung „10“ der beweglichen Skala C ablesen.

Beispiel für die Berechnung 10/5=2

Nach derselben Methode kann man für die Division auch die Skalen A und B verwenden; jedoch ist hierbei die Genauigkeit geringer.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, dass man den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. Man geht dazu genauso vor wie bei der Multiplikation, nur mit dem Unterschied, dass man statt der Zungenskala C die Kehrwertskala CI verwendet.

Proportionen[Bearbeiten]

Das Verhältnis zwischen den Werten auf den Skalen C und D bzw. A und B ist bei unveränderter Zungeneinstellung immer gleich.

Somit eignet sich der Rechenschieber sehr gut für Proportionalrechnungen bzw. für Dreisatzaufgaben. Hierbei ist es hilfreich, vor der Multiplikation die Division durchzuführen, da sich die Aufgabe dann meist mit einer einzigen Zungeneinstellung berechnen lässt.

Ein wesentlicher Vorteil des Rechenschiebers liegt bei Dreisatzrechnungen darin, dass nicht nur das Ergebnis für den zweiten Faktor, sondern bei gleicher Zungeneinstellung für beliebig viele weitere Faktoren abgelesen werden kann.

Ein Beispiel zur Tabellenbildung: Man will englische Yards in Meter umrechnen und umgekehrt. Es gilt das Verhältnis 82 Yards sind 75 Meter. Hierzu stellt man den Wert 75 auf der beweglichen Skala C über den Wert 82 auf der festen Skala D. Nun kann man für beliebige Werte von Yards auf der Skala D die entsprechende Meterzahl auf der Skala C ablesen. Umgekehrt kann man für beliebige Werte von Metern auf der Skala C die entsprechende Yardzahl auf der Skala D ablesen.

Potenzen[Bearbeiten]

Quadratzahlen[Bearbeiten]

Für die Quadratskalen A und B gilt die Beziehung \log x^2 = 2 \log x, d.h. sie besitzen zwei Dekaden (1 bis 10 und 10 bis 100) im Bereich der Grundskalendekade (1 bis 10).

Das Quadrieren erfolgt durch den Übergang von der Skala C bzw. D auf die Skala B, bzw. A, wobei vorteilhaft der mittlere Läuferstrich benutzt wird. Man stellt den Läuferstrich z.B. über den Wert auf Skala D und liest auf Skala A die Quadratzahl ab.

Bei einigen Rechenschiebern existiert auf dem Läufer ein kurzer Zusatzstrich über den Quadratskalen A und B, der um die Strecke π/4 versetzt ist. Mit Hilfe dieses Zusatzstriches kann die Kreisfläche direkt auf den Skalen A oder B abgelesen werden, wenn der Kreisdurchmesser mit dem Mittelstrich des Läufers auf den Skalen C oder D eingestellt wird.

Kubikzahlen[Bearbeiten]

Für die Kubik- oder Kubenskala K gilt die Beziehung \log x^3 = 3 \log x, d.h. sie besitzt drei Dekaden (1 bis 10, 10 bis 100 und 100 bis 1000) im Bereich der Grundskalendekade.

Das Ermitteln der Kubikzahl erfolgt durch den Übergang von der Skala D auf die Skala K, wobei vorteilhaft der mittlere Läuferstrich benutzt wird.

Wurzeln[Bearbeiten]

Quadratwurzel[Bearbeiten]

Um die Quadratwurzel einer Zahl zu ermitteln, deren Wert zwischen 1 und 100 liegt, stellt man diese Zahl mit dem Läufer auf der Skala A bzw. B ein und liest das Ergebnis auf der Grundskala D bzw. C ab.

Ist die Quadratwurzel einer Zahl zu ermitteln, deren Wert nicht zwischen 1 und 100 liegt, so wird der Radikand in zwei Faktoren zerlegt, wobei ein Faktor eine Potenz zur Basis 100 darstellt und der zweite Faktor im Bereich zwischen 1 und 100 liegt. Nach der Formel  \sqrt{100^a\, x} = 10^a \sqrt x \, kann man aus jedem Faktor getrennt die Wurzel ziehen und die Ergebnisse multiplizieren.

Man kann auch folgende Faustregel anwenden: Alle Zahlen größer als 1 mit ungerader Anzahl Stellen vor dem Komma und alle Zahlen kleiner als 1 mit ungerader Anzahl Nullen nach dem Komma werden in der linken Dekade (1 bis 10) der Skala A eingestellt. Alle Zahlen größer als 1 mit gerader Anzahl Stellen vor dem Komma und alle Zahlen kleiner als 1 mit gerader Anzahl Nullen (auch 0 ist eine gerade Zahl) nach dem Komma werden in der rechten Dekade (10 bis 100) der Skala A eingestellt.

Kubikwurzel[Bearbeiten]

Um die Kubikwurzel einer Zahl zu ermitteln, deren Wert zwischen 1 und 1000 liegt, stellt man diese Zahl mit dem Läufer auf der Skala K ein und liest das Ergebnis auf der Grundskala D ab.

Ist die Kubikwurzel einer Zahl zu ermitteln, deren Wert nicht zwischen 1 und 1000 liegt, so wird der Radikand in zwei Faktoren zerlegt, wobei ein Faktor eine Potenz zur Basis 1000 darstellt und der zweite Faktor im Bereich zwischen 1 und 1000 liegt. Nach der Formel  \sqrt[3]{1000^a\, x} = 10^a \sqrt[3] x \, kann man aus jedem Faktor getrennt die Wurzel ziehen und die Ergebnisse multiplizieren.

Kehrwerte[Bearbeiten]

Die Kehrwertskalen CI bzw. DI entsprechen im Erscheinungsbild den Grundskalen C und D, verlaufen aber in entgegengesetzter Richtung. Sie sind deshalb meist rot eingefärbt. Diese Skalen können für verschiedene Rechenmöglichkeiten angewendet werden.

Ist der Kehrwert einer Zahl zu ermitteln, stellt man diese Zahl mit dem Läufer auf der Grundskala ein und liest den Kehrwert direkt auf der Kehrwertskala ab.

Mit Hilfe der Kehrwertskala kann man die Berechnung einer Multiplikation durch eine Division ersetzen und umgekehrt. Es gilt: Eine Zahl wird multipliziert, indem man durch den Kehrwert dividiert. Damit kann man Produkte von mehreren Faktoren mit weniger Zungeneinstellungen ermitteln.

Zusammengesetzte Multiplikationen und Divisionen lassen sich mit den Kehrwertskalen effizienter berechnen.

Weitere Verwendungsmöglichkeiten der Kehrwertskalen ergeben sich bei den trigonometrischen Funktionen und Exponentialrechnungen.

Logarithmenbestimmung[Bearbeiten]

Die linear geteilte Logarithmen- bzw. Mantissenskala L enthält Werte für die Mantisse (Nachkommastellen) des dekadischen Logarithmus.

Um den dekadischen Logarithmus einer Zahl zu ermitteln, stellt man sie mit dem Läufer auf der Grundskala D ein und liest die Mantisse auf der Mantissenskala L ab. Die Kennzahl (Vorkommastelle) des Logarithmus ergibt sich, ebenso wie bei der Anwendung einer Logarithmentafel, bei Zahlen größergleich 1 aus der Anzahl der Stellen vor dem Komma minus 1. Bei Zahlen kleiner 1 wird die Anzahl der Nullen nach dem Komma ermittelt. Diese Anzahl wird negativ gesetzt und um 1 vermindert. Als Faustregel gilt: Die Kennzahl entspricht der Anzahl der Stellen, um die das Komma verschoben werden muss, bis genau eine von der Null verschiedene Ziffer vor dem Komma steht. Eine Linksverschiebung wird positiv gewertet, eine Rechtsverschiebung negativ.

Die Logarithmenbestimmung wird vor allem zur Berechnung von Potenzen und Wurzeln beliebiger Exponenten verwendet. Da jedoch schon durch kleine Ungenauigkeiten bei der Ermittlung des Logarithmus die Endgenauigkeit deutlich beeinträchtigt wird, dient diese Methode lediglich für Überschlagsrechnungen.

Trigonometrische Werte[Bearbeiten]

Für alle Winkelfunktionen gilt: Ist ein Winkel gegeben, der größer als 90° ist, so muss er erst auf einen spitzen Winkel zurückgeführt werden, der den gleichen Funktionswert liefert.

Sinus[Bearbeiten]

Die Sinusskala S ist dezimal unterteilt und ergibt in Verbindung mit der Grundskala D die Winkelfunktion, bzw. bei umgekehrter Ablesung den Winkel.

Der Sinuswert für Winkel zwischen 5,7° und 90° lässt sich ermitteln, indem man mit dem Läufer die Gradzahl auf der Sinusskala S einstellt und den Funktionswert auf Skala D abliest.

Sinusswerte für Winkel kleiner als 5,7° lassen sich mit der Bogenmaßskala ST ermitteln (s.u.).

Kosinus[Bearbeiten]

Die Sinusskala S ist meistens zusätzlich mit roten Winkelwerten beschriftet, die von rechts nach links ansteigen. Diese Werte, im Intervall von 0° bis 84,3°, stellen den Komplementwinkel dar und ermöglichen die Ablesung des Kosinuswertes auf der Grundskala D. Umgekehrt lässt sich der zugehörige Winkel bestimmen.

Tangens[Bearbeiten]

Zur Ermittlung der Tangenswerte verwendet man die Skalen T1 und T2, wobei man T1 für Winkelwerte zwischen 5,7° und 45° und T2 für Winkelwerte zwischen 45° und 84,3° verwendet. Die Ablesung des Tangenswertes erfolgt auf der Grundskala D. Umgekehrt lässt sich der zugehörige Winkel bestimmen.

Der Kotangenswert kann auf der Kehrwertskala DI abgelesen werden.

Tangenswerte für Winkel kleiner als 5,7° lassen sich mit der Bogenmaßskala ST ermitteln (s.u.).

Für Winkelwerte zwischen 84,3° und 90° ermittelt man den Komplementwinkel und stellt ihn auf der Bogenmaßskala ST ein. Nach der Beziehung  \tan{x} = \cot{(90^\circ-x)} kann man den Tangenswert auf der Kehrwertskala DI ablesen.

Bogenmaß[Bearbeiten]

Die Bogenmaßskala ST ist dezimal unterteilt und ergibt in Verbindung mit der Grundskala D das Bogenmaß, bzw. bei umgekehrter Ablesung den Winkel.

Das Bogenmaß für Winkel zwischen 0,57° und 5,7° lässt sich ermitteln, indem man mit dem Läufer die Gradzahl auf der Bogenmaßskala ST einstellt und das Bogenmaß auf der Grundskala D abliest.

Für Winkel unter 5,7° gilt die Beziehung  \mathrm{arc}\,x \approx \sin x \approx \tan x. D.h. das Bogenmaß entspricht ungefähr der Sinusfunktion und der Tangensfunktion. Die Abweichung beträgt hier weniger als 1,5 ‰. Deshalb wird diese Skala auch zur Ermittlung von Sinus- und Tangenswerten für kleine Winkel verwendet.

Allgemeine Potenzberechnungen[Bearbeiten]

Die drei Exponentialskalen LL1, LL2, LL3 stellen aneinandergereiht den natürlichen Logarithmus für die Funktionswerte 1,01 bis 50000 dar. Mit Hilfe dieser Skalen lassen sich beliebige Potenzen, Wurzeln und Logarithmen berechnen. Die Exponentialskalen sind Stellenwertskalen, d.h. ihr Dezimalwert entspricht der angeschriebenen Beschriftung und ist nicht wie bei den Grundskalen veränderlich.

Addition und Subtraktion[Bearbeiten]

Eine Addition oder Subtraktion ist mit herkömmlichen Rechenschiebern nicht direkt möglich. Allerdings kam man durch die Umformung der Additionsaufgabe in eine Multiplikationsaufgabe zum Ziel kommen.

Eine passende Formel wird hergeleitet, indem y ausgeklammert wird. Es gilt

x+y = \left(\tfrac xy+1\right)y  für die Addition und
x-y = \left(\tfrac xy-1\right)y  für die Subtraktion.

Diese Aufgabenstellung kann man durch die Anwendung von Division und Multiplikation mit dem Rechenschieber lösen. Die als Zwischenergebnis notwendige Addition bzw. Subtraktion der Zahl 1 kann im Kopf erfolgen. Diese Art der Berechnung ist sicher nicht trivial und spielt beim Einsatz des Rechenschiebers kaum eine Rolle.

Bei Rechenschiebern mit linearen Skalen kann die Addition und Subtraktion direkt ausgeführt werden.

Uhren[Bearbeiten]

Es gibt auch heute noch Armbanduhren, die mit einem Rechenschieber ausgestattet sind, etwa von Breitling, Sinn, Casio oder Citizen.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Clifford Stoll: Als Rechner noch geschoben wurden (PDF; 530 kB), Spektrum der Wissenschaft, April 2007.
  • Wilhelm Rieck: Stabrechnen in Theorie und Praxis. Verlag Handwerk und Technik, 1971.
  • Giovanni Pastore: Antikythera e i regoli calcolatori. Eigenverlag des Autors, Rome 2006. Giovanni Pastore, italienisch
  • Ulla Fölsing: Ein harter Strich über dem Herzen – Für heutige Schüler eine Antiquität: Der Rechenschieber. Eine Altonaer Ausstellung zu seiner Geschichte. In: Frankfurter Allgemeine Zeitung, Mittwoch, 22. Juni 2011, Nr. 143, S. N5.
  • Peter Hopp: Slide Rules: their history, models and makers. Astragal Press, Mendham 1999.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Rechenschieber – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Rechenschieber – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Hans Gaab: Der Ingenieursstab von 1650 von Trew, PDF
  2. Der Rechenstab REISS Duplex 3227 im Vergleich zu anderen Modellen. (Abfragedatum 6. Mai 2010; PDF; 2,6 MB).
  3. Heinz Joss: 350 Jahre Rechenschieber, und was die Region Zürich dazu beigetragen hat. In: Vierteljahresschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, 2-3/2001.