Rechteckfunktion

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Rechteckfunktion

Die Rechteckfunktion, auch rect-Funktion, ist eine unstetige mathematische Funktion mit folgender Definition:

\operatorname{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases}
0           & \text{wenn } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt]
\frac{1}{2} & \mbox{wenn } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt]
1           & \text{wenn } |t| < \frac{1}{2}.
\end{cases}

Alternative Definitionen, welche vor allem im Bereich der Signalverarbeitung üblich sind, legen die Rechteckfunktion etwas abweichend fest als: [1]

\operatorname{rect_d}(t) = \begin{cases}
1           & \text{wenn } |t| \le \frac{1}{2} \\[3pt]
0           & \text{wenn } |t| > \frac{1}{2}.
\end{cases}

Die Rechteckfunktion kann auch mit Hilfe der Heaviside-Funktion \Theta(x) ausgedrückt werden als:

\operatorname{rect}(t) = \Theta \left( t + \frac{1}{2} \right) \cdot \Theta \left( \frac{1}{2} - t \right) = 
                          \Theta \left( t + \frac{1}{2} \right) - \Theta \left( t - \frac{1}{2} \right),\,

Die Fourier-Transformation der Rechteckfunktion ergibt die si-Funktion:

\mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\} = \mathrm{si}(\pi f)

Verschiebung und Skalierung[Bearbeiten]

Eine Rechteckfunktion, die bei t_0 zentriert ist und eine Dauer von T hat, wird ausgedrückt durch

\operatorname{rect}\left(\frac{t-t_0}{T} \right) \, .

Ableitung[Bearbeiten]

Die Rechteckfunktion ist als unstetige Funktion weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Allerdings ist eine Distributionenableitung durch die diracsche Delta-Distribution δ möglich:

\operatorname{rect}\,' (t) = \delta \left(t + \frac{1}{2} \right) - \delta \left(t - \frac{1}{2} \right)

Weitere Zusammenhänge[Bearbeiten]

Die Faltung zweier gleicher Rechteckfunktionen ergibt die Dreiecksfunktion, die Integration eine Rampenfunktion. Eine Form mit periodischer Fortsetzung der Rechteckfunktion sind die Rademacherfunktionen.

Die mehrfache Faltung mit m Faltungen

\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) * \ldots

ergibt für m \to \infty mit einer geeigneten Skalierung die Gaußsche Glockenkurve.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Hans Dieter Lüke: Signalübertragung. Grundlagen der digitalen und analogen Nachrichtenübertragungssysteme. 6., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58753-5, S. 2.