Rechter Winkel

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Zwei rechte Winkel

Ein rechter Winkel, kurz auch Rechter, ist ein Winkel von 90° und damit der vierte Teil eines Vollwinkels zu 360°. Zwei Geraden oder Strecken, die sich in einem rechten Winkel schneiden oder berühren, werden als rechtwinklig, senkrecht oder orthogonal bezeichnet. Rechte Winkel treten in vielen geometrischen Figuren und Konstruktionen auf und werden in Zeichnungen durch einen kleinen Viertelkreis mit Punkt oder durch ein kleines Quadrat gekennzeichnet. Der rechte Winkel war neben dem Vollwinkel zeitweise eine gesetzliche Einheit in Deutschland und in der Schweiz.

Definition[Bearbeiten]

Sowohl Euklid in seinem Werk Die Elemente (ca. 300 v. Chr), als auch David Hilbert in seinem Axiomensystem der euklidischen Geometrie (1899) definieren einen rechten Winkel als einen Winkel, der kongruent zu seinem Nebenwinkel ist:

„Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, einander gleiche Nebenwinkel bildet, dann ist jeder der gleichen Nebenwinkel ein Rechter“

Euklid: Die Elemente: I.10; deutsche Übersetzung von Clemens Thaer[1]

Das Adjektiv „recht“ meint hierbei nicht rechts, sondern recht im Sinne von aufrecht (lat. rectus).[2] Alternativ dazu wird spätestens seit dem 16. Jahrhundert ein rechter Winkel auch als ein Winkel, zu dem ein Viertelkreis gehört, definiert.[2] Beide Definitionen sind zueinander äquivalent, denn zwei Nebenwinkel ergeben zusammen einen gestreckten Winkel, dem ein Halbkreis entspricht.

Beispiele[Bearbeiten]

Je zwei Koordinatenachsen im kartesischen Koordinatensystem bilden miteinander einen rechten Winkel

In der Ebene bilden beispielsweise einen rechten Winkel:

Im Raum bilden beispielsweise einen rechten Winkel:

In einem orthogonalen Polygon oder einem orthogonalen Polyeder bilden alle benachbarten Kanten rechte Winkel.

Bestimmung rechter Winkel[Bearbeiten]

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt \scriptstyle a^2 + b^2 = c^2
Die Graphen zweier linearer Funktionen schneiden sich in einem rechten Winkel, wenn das Produkt der Steigungen \scriptstyle -1 ergibt

Zwischen Strecken[Bearbeiten]

Zwei Strecken [ AC ] und [ BC ] bilden nach dem Satz des Pythagoras genau dann einen rechten Winkel, wenn für die Längen der Strecken

| AC |^2 + | BC |^2 = | AB |^2

gilt. Die ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung heißen pythagoreische Tripel. So bilden zwei Strecken, die sich in einem Punkt treffen und deren Längen 3 bzw. 4 Einheiten betragen, genau dann miteinander einen rechten Winkel, wenn die Verbindungsstrecke der beiden Endpunkte 5 Einheiten lang ist, denn

3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2.

Zwischen Funktionsgraphen[Bearbeiten]

Die Graphen zweier linearer Funktionen f(x) = m_1 x + b_1 und g(x) = m_2 x + b_2 schneiden sich genau dann in einem rechten Winkel, wenn für das Produkt der Steigungen

m_1 \cdot m_2 = -1

gilt. Beispielsweise schneiden sich die Graphen der beiden linearen Funktionen f(x)=-2x+5 und g(x)=\tfrac{1}{2}x+2 rechtwinklig, denn

m_1 \cdot m_2 = (-2) \cdot \tfrac{1}{2} = -1.

Allgemeiner schneiden sich die Graphen zweier differenzierbarer Funktionen f und g genau dann in einem rechten Winkel, wenn am Schnittpunkt \bar x das Produkt der Ableitungen (der Tangentensteigungen)

f'(\bar x) \cdot g'(\bar x) = -1

ergibt. So schneiden sich beispielsweise die Graphen der Funktionen f(x)=\tfrac12 (x^2 + 1) und g(x)=\tfrac 1x an der Stelle \bar x=1 rechtwinklig, denn f(\bar{x}) = g(\bar{x}) und

f'(\bar{x}) \cdot g'(\bar{x})=\bar{x} \cdot (-\tfrac1{\bar{x}^2}) = 1 \cdot (-1) = -1.

Zwischen Kurven[Bearbeiten]

Zwei sich schneidende Geraden bilden in einem kartesischen Koordinatensystem genau dann einen rechten Winkel, wenn für das Skalarprodukt der Richtungsvektoren \vec r und \vec s der beiden Geraden

\vec r \cdot \vec s = 0

gilt. So stehen beispielsweise zwei Geraden mit den Richtungsvektoren \vec r = (2,1) und \vec s = (1,-2) aufeinander senkrecht, da

\vec r \cdot \vec s = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 0

ist. Allgemeiner bilden zwei sich schneidende differenzierbare Kurven miteinander einen rechten Winkel, wenn das Skalarprodukt ihrer Tangentialvektoren am Schnittpunkt verschwindet.

Trigonometrie[Bearbeiten]

Die wichtigsten trigonometrischen Funktionen. Für einen rechten Winkel ist der Wert der horizontalen Achse \scriptstyle \pi/2 \approx 1,57.

Für die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus, Tangens und Kotangens sowie Sekans und Kosekans eines rechten Winkels \alpha gilt:

  • \sin \alpha = \csc \alpha = 1
  • \cos \alpha = \cot \alpha = 0
  • \tan \alpha und \sec \alpha sind nicht definiert

Einheiten[Bearbeiten]

Ein rechter Winkel entspricht in den verschiedenen Winkelmaßen:

Vom 5. Juli 1970 bis zum 29. November 1973 war neben dem Vollwinkel (360 Grad) auch der rechte Winkel mit dem Einheitenzeichen in Deutschland eine gesetzliche Einheit.[3] Bis zum 31. Dezember 1996 war der rechte Winkel in der Schweiz gesetzliche Einheit.

Konstruktion[Bearbeiten]

Konstruktion eines rechten Winkels in einem Punkt \scriptstyle P einer Gerade \scriptstyle g mit Zirkel und Lineal

Hilfsmittel zum Zeichnen von rechtwinkligen Linien sind beispielsweise in der Schule ein mathematisches Papier oder ein Geodreieck. Zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal siehe Lot (Mathematik). Beim technischen Zeichnen am Reißbrett wird ein Zeichenkopf mit Zeichenschienen eingesetzt. Im metall- und holzverarbeitenden Handwerk wird zur Abmessung rechter Winkel ein Winkelmaß oder eine Lehre verwendet.

Zur Konstruktion rechter Winkel über längere Distanzen hinweg wurden im Laufe der Zeit verschiedene mechanische Hilfsmittel entwickelt. In der Baukunst des alten Ägyptens und des Mittelalters wurden hierfür Rechenseile, beispielsweise eine Zwölfknotenschnur, eingesetzt. In der römischen Bautechnik wurde bei der Limitation von Siedlungen eine Groma zur Absteckung rechter Winkel verwendet, in neuerer Zeit kam hierfür eine Kreuzscheibe zum Einsatz. In der Geodäsie kommt bei Katastervermessungen mit dem Orthogonalverfahren ein Winkelprisma oder ein Theodolit zum Einsatz. Heute sind diese Geräte weitgehend durch elektro-optische Entfernungsmesser, wie beispielsweise Tachymeter, abgelöst worden.

In der Praxis erhält man so natürlich immer nur Näherungen an das geometrische Konzept des rechten Winkels.

Kennzeichnung und Kodierung[Bearbeiten]

Right angle dot.svg Right angle.svg
Kennzeichnung eines rechten Winkels im deutsch- und im englischsprachigen Raum

Zur Kennzeichnung rechter Winkel in Zeichnungen wird im deutschsprachigen Raum sowie einer Reihe weiterer europäischer Länder ein beide Schenkel des Winkels verbindender Viertelkreis mit einem Punkt darin verwendet. Gelegentlich wird der Punkt auch weggelassen. Im englischsprachigen Raum wird zur Kennzeichnung ein beide Schenkel des Winkels verbindender und mit ihnen ein kleines Quadrat (bzw. bei schräger Darstellung Parallelogramm) bildender zweiter rechter Winkel eingezeichnet.

Im Zeichensatz werden rechte Winkel folgendermaßen definiert und kodiert:

Zeichenkodierungsstandard Unicode
und Internet-Dokumentenformat HTML
Zeichen Unicode Name HTML
Position Bezeichnung hexadezimal dezimal benannt
U+221F right angle Rechter Winkel ∟ ∟
U+299C right angle variant with square Variante eines rechten Winkels mit Quadrat ⦜
U+299D measured right angle with dot Gemessener rechter Winkel mit Punkt ⦝
U+22BE right angle with arc Rechter Winkel mit Bogen ⊾ ⊾

Das Zeichen ∟ für den rechten Winkel wurde erstmals von dem griechischen Mathematiker Pappos im 4. Jhdt. n. Chr. verwendet.[4]

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Rechte Winkel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Clemens Thaer (Hrsg.): Die Elemente von Euklid (= Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften. Band 235). Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1933.
  2. a b  Johannes Tropfke: Geschichte der Elementarmathematik. Band 4: Ebene Geometrie, de Gruyter, Berlin 1940, ISBN 3-111-62150-2, S. 66.
  3. BGBl. 1970 I S. 981, 982, BGBl. 1973 I S. 1761
  4.  Florian Cajori: A History of Mathematical Notations. Volume 1, Cosimo, Inc., 2013, ISBN 1-602-06685-X, S. 401.