Reduzierte Masse

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Wenn sich zwei Körper mit Massen m_1 und m_2 unter dem Einfluss einer verschwindenden Gesamtkraft bewegen, so lassen sich die Bewegungsgleichungen in die freie Bewegung des Schwerpunktes und das Ein-Körper-Problem der Relativbewegung aufspalten. Dabei verhält sich das leichtere Teilchen im relativen Abstand zum schwereren Teilchen wie ein Teilchen, das die durch

\frac{1}{m} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}

charakterisierte reduzierte Masse

m:=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}

hat. Je nach Masse m_1 des schwereren Körpers (m_1\ge m_2) hat die reduzierte Masse m Werte zwischen m_2/2 und m_2. In wichtigen Fällen (Planetenbewegung, Bewegung eines Elektrons im Coulombfeld des Atomkerns) unterscheiden sich die Massen des schwereren und des leichteren Körpers sehr stark (m_2/m_1\ll1). Dann ist die reduzierte Masse fast die Masse des leichteren Teilchens:

m = \frac{m_2}{1+m_2/m_1} \approx m_2 \left(1- \frac{m_2}{m_1}\right) \approx m_\mathrm 2

In vielen Lehrbüchern wird die reduzierte Masse mit dem griechischen Buchstaben \mu, manchmal auch mit m_\mathrm{r} oder m_{\mathrm{red}} abgekürzt.

Herleitung[Bearbeiten]

  • Bei verschwindender Gesamtkraft lauten die Bewegungsgleichungen für die Orte \vec{r}_1 und \vec{r}_2 der beiden Körper:
m_1 \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}_1}{\mathrm{d}t^2}=\vec{F}
m_2 \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}_2}{\mathrm{d}t^2}=-\vec{F}
  • Addiert man diese zwei Gleichungen, so erhält man für den Schwerpunkt
\vec{R}:=\frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{M}
mit der Massensumme M:=m_1+m_2 die Bewegungsgleichung
\ddot{\vec{R}} = 0
eines freien Teilchens. Also bewegt sich der Schwerpunkt geradlinig gleichförmig:
\vec{R}(t)=\vec{R}(0)+t\,\vec{v}(0)
  • Subtrahiert man die, durch die jeweilige Masse dividierten, Bewegungsgleichungen der Teilchen, so erhält man
\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} (\vec{r}_1-\vec{r}_2)=\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right) \vec{F} = \frac{1}{m}\vec{F}
m\,\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}= \vec{F}
als Bewegungsgleichung für den relativen Ortsvektor \vec{r}:=\vec{r}_1-\vec{r}_2. Dieser bewegt sich also wie ein Teilchen der reduzierten Masse m unter dem Einfluss der Kraft \vec{F}.