Reduzierte Masse

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Wenn sich zwei Körper mit Massen m_1 und m_2 unter dem Einfluss einer verschwindenden Gesamtkraft bewegen, so lassen sich die Bewegungsgleichungen in die freie Bewegung des Schwerpunktes und das Ein-Körper-Problem der Relativbewegung aufspalten. Dabei bewegt sich der relative Abstand wie ein Teilchen, das die reduzierte Masse m hat,

m=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\ ,\quad \frac{1}{m} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\ .

Je nach Masse m_1\ge m_2 des schwereren Körpers hat die reduzierte Masse Werte zwischen m_2/2 und m_2. In wichtigen Fällen (Planetenbewegung, Bewegung eines Elektrons im Coulomb-Feld des Atomkerns) unterscheiden sich die Massen des schwereren und des leichteren Körpers um mehrere Größenordnungen. Dann ist die reduzierte Masse fast die Masse des leichteren Teilchens,

 m = \frac{m_2}{1+m_2/m_1} \approx m_2 \left(1- \frac{m_2}{m_1}\right) \approx m_\mathrm 2\ .

In vielen Lehrbüchern wird die reduzierte Masse mit dem griechischen Buchstaben µ, manchmal auch mit m_r oder m_{\mathrm{red}} abgekürzt.

Herleitung[Bearbeiten]

Bei verschwindender Gesamtkraft lauten die Bewegungsgleichungen für die Orte \vec{r}_1 und \vec{r}_2 der beiden Körper

 m_1 \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}_1}{\mathrm{d}t^2}=\vec{F}\ ,\quad m_2 \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}_2}{\mathrm{d}t^2}=-\vec{F}\ .

Summiert man beide Gleichungen, so erhält man für den Schwerpunkt

\vec{R}=\frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{M}\ ,\quad M = m_1+m_2\ ,

die Bewegungsgleichung

M\,\ddot{\vec{R}} = 0

eines freien Teilchens. Also bewegt sich der Schwerpunkt geradlinig, gleichförmig,

\vec{R}(t)=\vec{R}(0)+t\,\vec{v}(0)\ .

Teilt man die Bewegungsgleichung der Teilchen durch die Massen und nimmt die Differenz, erhält man für den Abstand \vec{r}=\vec{r}_1-\vec{r}_2 die Bewegungsgleichung

 \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} (\vec{r}_1-\vec{r}_2)=
\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right) \vec{F} = \frac{1}{m}\vec{F}\ ,\quad
m\,\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}= \vec{F}\ .

Er bewegt sich also wie ein Teilchen der reduzierten Masse m unter Einfluss der Kraft \vec{F}\,.