Reflexive Relation

Drei reflexive Relationen, als gerichtete Graphen dargestellt

Die Reflexivität einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn x R x für alle Elemente x der Menge gilt (also jedes Element in Relation zu sich selbst steht). Man nennt R dann reflexiv. Die Relation heißt irreflexiv, wenn die Beziehung x R x für kein Element x der Menge gilt (also kein Element in Relation zu sich selbst steht).

Die Art des Gegensatzes von reflexiv und irreflexiv ist konträr aber nicht kontradiktorisch, denn es gibt auch Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv sind.

Die Reflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation; die Irreflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine strikte Ordnungsrelation.

Formale Definition

Ist $M$ eine Menge und $R \subseteq M \times M$ eine zweistellige Relation auf $M$, dann definiert man (unter Verwendung der Infixnotation):

$R$ ist reflexiv :$\Longleftrightarrow \forall x \in M: xRx$

$R$ ist irreflexiv :$\Longleftrightarrow \forall x \in M: \neg \ xRx$

Beispiele

Reflexiv

• Die Kleiner-Gleich-Relation $\le \$ auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets $x \le x$ gilt. Sie ist darüber hinaus eine Totalordnung. Gleiches gilt für die Relation $\ge \$.

• Die gewöhnliche Gleichheit $=\$ auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets $x=x$ gilt. Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.

• Die Teilmengenbeziehung $\subseteq$ zwischen Mengen ist reflexiv, da stets$A\subseteq A$ gilt. Sie ist darüber hinaus eine Halbordnung.

Irreflexiv

• Die Kleiner-Relation $< \$ auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie $x < x$ gilt. Sie ist darüber hinaus eine strenge Totalordnung. Gleiches gilt für die Relation $> \$.

• Die Ungleichheit $\ne$ auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie $x\ne x$ gilt.

• Die echte Teilmengenbeziehung $\subset$ zwischen Mengen ist irreflexiv, da nie $A\subset A$ gilt. Sie ist darüber hinaus eine strenge Halbordnung.

Weder reflexiv noch irreflexiv

• Die folgende Relation auf der Menge der reellen Zahlen ist weder reflexiv noch irreflexiv:
      $xRy :\Longleftrightarrow y = x^2$
  (Begründung: Für $x:=1$ gilt $xRx$, für $x:=2$ gilt $\neg xRx$.)

Darstellung als gerichteter Graph

Jede beliebige Relation $R$ auf einer Menge $M$ kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (Beispiel siehe oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von $M$. Vom Knoten $a$ zum Knoten $b$ wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil $a \longrightarrow b$) gezogen, wenn $a R b\$ gilt.

Die Reflexivität von $R$ lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Für jeden Knoten $a$ gibt es eine Schleife $\stackrel{a}\circlearrowright$  . Entsprechend ist die Irreflexivität dadurch gegeben, dass es für keinen Knoten $a$ eine Schleife $\stackrel{a}\circlearrowright$ gibt.

Eigenschaften

• Mit Hilfe der identischen Relation $Id_M$ (die aus allen Paaren $(x, x)$ besteht) kann man die Begriffe auch so charakterisieren:

  $R$ ist reflexiv $\Longleftrightarrow Id_M \subseteq R$

  $R$ ist irreflexiv $\Longleftrightarrow Id_M \cap R = \varnothing$

• Ist die Relation $R$ reflexiv bzw. irreflexiv, dann gilt dies auch für die konverse Relation $R^{-1}$. Beispiele: die zu $\le$ konverse Relation ist $\ge$, die zu $<\$ konverse ist $>\$.

• Ist die Relation $R$ reflexiv, dann ist die komplementäre Relation $R^{\rm c}$ irreflexiv. Ist $R$ irreflexiv, dann ist $R^{\rm c}$ reflexiv. Dabei ist die komplementäre Relation definiert durch

  $x R^{\rm c} y :\Longleftrightarrow \neg x R y$.

• Die Relation auf der leeren Menge ist als einzige Relation sowohl reflexiv als auch irreflexiv.

Siehe auch

• Reflexive Hülle
• Reflexiv-transitive Hülle