Regel von Sarrus

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Regel von Sarrus

In der linearen Algebra ist die Regel von Sarrus (auch sarrussche Regel oder Jägerzaun-Regel) ein Schema, mit dem die Determinante einer 3\times3-Matrix leicht von Hand berechnet werden kann. Sie ist nach dem französischen Mathematiker Pierre Frédéric Sarrus benannt. Es handelt sich um einen Spezialfall der Leibniz-Formel.

Für die 3\times3-Matrix

 A =
\begin{pmatrix}
  a & b & c \\
  d & e & f \\
  g & h & i
\end{pmatrix}

besteht die Determinante aus 6 Summanden von je 3 Faktoren, die leicht mit dem folgenden Schema ermittelt werden können.

Regel von Sarrus

Dabei schreibt man die ersten beiden Spalten der Matrix rechts neben die Matrix und bildet Produkte von je 3 Zahlen, die durch die schrägen Linien verbunden sind. Dann werden die nach unten verlaufenden Produkte addiert und davon die nach oben verlaufenden Produkte subtrahiert. Man erhält auf diese Weise die Determinante von A:

 \det(A) = aei + bfg + cdh - gec -hfa -idb.

Für 2\times2-Matrizen gilt die ähnlich aussehende Regel


\det(A) = 
\det \begin{pmatrix}
a & b \\ 
c & d 
\end{pmatrix} = ad - cb.

Für mehr als drei Dimensionen wird die Leibniz-Formel schnell sehr groß, der Rechenaufwand wächst mit der Fakultät der Dimension. Bei Vorhandensein vieler Nulleinträge kann der laplacesche Entwicklungssatz die Berechnung vereinfachen. Substantiell schnellere Berechnungsmöglichkeiten auch im allgemeinen Fall bieten dagegen Zerlegungen der Matrix, etwa über den Gauß-Algorithmus.

Literatur[Bearbeiten]

  • Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 4. Auflage. Vieweg, 1985, ISBN 3-528-37235-4, S. 145

Weblinks[Bearbeiten]