Reguläre Sprache

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In der theoretischen Informatik ist eine reguläre Sprache eine formale Sprache, die einigen Einschränkungen unterliegt. Reguläre Sprachen können von endlichen Automaten erkannt werden und von regulären Ausdrücken beschrieben werden.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Ob eine Sprache mehr oder weniger eingeschränkt ist, ergibt sich aus ihrer Stellung innerhalb der Chomsky-Hierarchie. Die Klasse der regulären Sprachen entspricht innerhalb der Chomsky-Hierarchie der am meisten eingeschränkten Sprachklasse vom Typ 3. Sie bildet eine echte Teilmenge der kontextfreien Sprachen. Sie hat in der Informatik eine hohe praktische Bedeutung.

Definition[Bearbeiten]

Eine Sprache L über einem Alphabet \Sigma, das heißt eine Menge von Wörtern L\subseteq \Sigma^{*}, heißt dann regulär, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

Nachweis der Regularität einer Sprache[Bearbeiten]

Will man für eine gegebene Sprache nachweisen, dass sie regulär ist, so muss man sie demnach auf eine reguläre Grammatik, einen endlichen Automaten (z. B. einen Moore-Automaten) oder einen regulären Ausdruck oder auf bereits bekannte reguläre Sprachen zurückführen. Für einen Nachweis, dass eine Sprache L nicht regulär ist, ist es meistens zweckmäßig, das Pumping-Lemma (= Pumplemma) für reguläre Sprachen zu benutzen oder in schwierigeren Fällen nachzuweisen, dass der Index von R_L nicht endlich ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Sei \Sigma ein Alphabet.

  • Alle endlichen Sprachen L über \Sigma, d. h. \left| L \right|\in\mathbb{N}, sind regulär.
  • Alle kontextfreien Sprachen über einem unären Alphabet, d. h. \left|\Sigma\right|=1, sind regulär.

Abschlusseigenschaften[Bearbeiten]

Die Klasse der regulären Sprachen ist abgeschlossen unter den gewöhnlichen Mengenoperationen Vereinigung, Durchschnitt und Komplement. Darüber hinaus gilt die Abgeschlossenheit auch für die Konkatenation und den sogenannten Kleene-Stern. Im Einzelnen gilt also:

  • Die Vereinigung L = L_1 \cup L_2 zweier regulärer Sprachen L_1 und L_2 ist regulär.
  • Der Schnitt L = L_1\cap L_2 zweier regulärer Sprachen L_1 und L_2 ist regulär.
  • Das Komplement \bar L einer regulären Sprache L ist regulär.
  • Die Konkatenation \{uv \mid u\in L_1 \and v\in L_2\} zweier regulärer Sprachen L_1 und L_2 ist regulär.
  • Der Kleene-Stern L^{*} einer regulären Sprache L, d. h. die beliebig häufige Konkatenation von Wörtern aus der Sprache L vereinigt mit dem leeren Wort, ist regulär.

Typische Entscheidungsprobleme[Bearbeiten]

Seien L, L_1 und L_2 gegebene reguläre Sprachen über dem Alphabet \Sigma. Dann ergeben sich folgende typische Problemstellungen:

Alle diese Probleme sind entscheidbar. Bis auf das Äquivalenzproblem und das Inklusionsproblem sind die genannten Probleme auch bei kontextfreien Sprachen (der nach der Chomsky-Hierarchie nächsthöheren Sprachklasse) entscheidbar.

Literatur[Bearbeiten]

  • Michael Sipser: Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing, Boston u. a. 1997, ISBN 0-534-94728-X, Chapter 1: Regular Languages.
  • Uwe Schöning: Theoretische Informatik – kurzgefasst. 4. Auflage. Spektrum, Heidelberg u. a. 2001, ISBN 3-8274-1099-1, (Spektrum-Hochschultaschenbuch), Kapitel 1.2: Reguläre Sprachen.
  • John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman: Einführung in die Automatentheorie. Formale Sprachen und Komplexitätstheorie. 2. überarbeitete Auflage. Pearson Studium, München 2002, ISBN 3-8273-7020-5, (i - Informatik).
  •  Dag Hovland: The Inclusion Problem for Regular Expressions. In: LNCS Language and Automata Theory and Applications. Bd. 6031, 2010, S. 309–320, doi:10.1007/978-3-642-13089-2_26 (PDF).

Weblinks[Bearbeiten]

  • REG. In: Complexity Zoo. (englisch)