Regulärer Raum

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In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind reguläre Räume spezielle topologische Räume, in denen jede abgeschlossene Teilmenge A und jeder nicht in A liegende Punkt x durch Umgebungen getrennt sind.

Ein T3-Raum ist ein regulärer Raum, der außerdem ein Hausdorff-Raum ist.

Definition[Bearbeiten]

Sei X ein topologischer Raum. Zwei Teilmengen Y und Z von X heißen durch Umgebungen getrennt, falls disjunkte offene Mengen U und V mit Y\subset U und Z\subset V existieren.

X heißt regulärer Raum, falls jede abgeschlossene Menge A \subset X und jeder Punkt x \notin A durch Umgebungen U \in\mathfrak{U}(A) von A sowie V \in \mathfrak{U}(x) von x getrennt sind, also mit U \cap V=\emptyset.

Hinweis: In der Literatur ist die Bezeichnung regulärer Raum und T3-Raum nicht eindeutig. Gelegentlich sind die Definitionen gegenüber der hier präsentierten Variante vertauscht.

Beziehungen zu anderen Trennungsaxiomen[Bearbeiten]

  • Jeder reguläre Raum, der T₀ erfüllt, erfüllt auch T₂ und somit T₁: Betrachte zwei Punkte x und y. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit existiere eine Umgebung von y, die x nicht enthält (andernfalls vertausche die beiden Punkte). Ihr Komplement ist abgeschlossen und enthält x, aber nicht y und kann daher von y durch disjunkte Umgebungen getrennt werden, die somit auch x und y trennen.
  • Jeder reguläre Raum ist außerdem halbregulär. Die regulär offenen Mengen bilden eine Basis eines regulären Raums. Diese Eigenschaft ist allerdings schwächer als die der Regularität. Das heißt, es gibt topologische Räume, deren regulär offene Mengen eine Basis bilden aber die nicht regulär sind.

Äquivalente Charakterisierung[Bearbeiten]

Ein topologischer Raum ist genau dann regulär, wenn jeder seiner Punkte eine Umgebungsbasis aus abgeschlossenen Mengen besitzt. Umgebungsbasis \mathfrak{B} eines Punktes x\in X zu sein, bedeutet, dass man zu jeder Umgebung U\in\mathfrak{U}(x) eine Umgebung B\in\mathfrak{U}(x) mit B\in\mathfrak{B} und B\subseteq U findet.

Der Sachverhalt lässt sich auch recht leicht allein mit den topologischen Grundbegriffen (Offenheit und Abschluss) ausdrücken, ohne dabei Umgebungen und Umgebungsbasen einführen zu müssen: Für jedes x\in O, O offen, findet man ein offenes V mit x\in V\subseteq\overline{V}\subseteq O.

Literatur[Bearbeiten]