Regulärer Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind reguläre Räume spezielle topologische Räume, in denen jede abgeschlossene Teilmenge A und jeder nicht in A liegende Punkt x durch Umgebungen getrennt sind.

Ein T₃-Raum ist ein regulärer Raum, der außerdem ein Hausdorff-Raum ist.

Definition

Sei X ein topologischer Raum. Wir sagen, dass zwei Teilmengen Y und Z von X durch Umgebungen getrennt sind, falls disjunkte offene Mengen U und V mit $Y\subset U$ und $Z\subset V$ existieren.

X ist ein regulärer Raum, falls jede abgeschlossene Menge $A \subset X$ und jeder Punkt $x \notin A$ durch Umgebungen $U \subset \mathfrak{U}(A)$ von A sowie $V \subset \mathfrak{U}(x)$ von x getrennt sind, also mit $U \cap V=\emptyset$.

Hinweis: In der Literatur ist die Bezeichnung regulärer Raum und T₃-Raum nicht eindeutig. Gelegentlich sind die Definitionen gegenüber der hier präsentierten Variante vertauscht.

Beziehungen zu anderen Trennungsaxiomen

• Jeder reguläre Raum ist präregulär.

• Jeder reguläre Raum ist außerdem halbregulär. Die regulär offenen Mengen bilden eine Basis eines regulären Raums. Diese Eigenschaft ist allerdings schwächer als die der Regularität. Das heißt, es gibt topologische Räume, deren regulär offene Mengen eine Basis bilden aber die nicht regulär sind.

• Ein topologischer Raum ist genau dann ein regulärer Raum, wenn der Kolmogoroff-Quotient KQ('X') das Trennungsaxiom T₃ erfüllt. Insbesondere ist ein regulärer Raum, der T₀ erfüllt ein regulärer Hausdorff-Raum. Weiter ist jeder reguläre Hausdorff-Raum auch regulär.

• Jeder vollständig reguläre Raum ist auch regulär.

Weitere Eigenschaften

Sei X ein regulärer Raum. Zu einem Punkt x und einer offenen Umgebung U von x existiert eine abgeschlossene Umgebung A von x, die Teilmenge von U ist. Die abgeschlossenen Umgebungen von x bilden also eine Umgebungsbasis von x. Besitzt umgekehrt jeder Punkt x in einem topologischen Raum X eine Umgebungsbasis von abgeschlossenen Mengen, so ist der Raum X regulär.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).