Masse (Physik)

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Physikalische Größe
Name Masse
Formelzeichen der Größe m
Formelzeichen der Dimension M
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI kg M
CGS g M

Die Masse, auch Ruhemasse, ist eine Eigenschaft der Materie und eine physikalische Grundgröße. Sie wird gemäß dem internationalen Einheitensystem in der Einheit Kilogramm angegeben. Das Formelzeichen ist meist m. Die Masse ist eine extensive Größe. Die Masse eines gegebenen physikalischen Systems ist sowohl in der klassischen Mechanik als auch in der Relativitätstheorie unabhängig von der Wahl des Bezugssystems.

Die Gravitation eines Körpers ist proportional zu seiner Masse. Zugleich bestimmt seine Masse die Trägheit, mit der sein Bewegungszustand auf Kräfte reagiert. Diese doppelte Rolle der Masse ist Inhalt des Äquivalenzprinzips. Außerdem ist im Ruhesystem eines Körpers seine Energie proportional zu seiner Masse. Die beiden Größen Masse und Ruheenergie unterscheiden sich nur durch den konstanten Faktor Lichtgeschwindigkeit zum Quadrat (c^2).

Die Masse wird außerhalb der Physik auch als Gewicht bezeichnet. Dabei sollte beachtet werden, dass dieses Wort auch für die verwandte, aber nicht identische Bedeutung Gewichtskraft stehen kann.

Definition (träge und schwere Masse)[Bearbeiten]

Mit der Masse eines Körpers sind drei klassische Eigenschaften verbunden:[1]

  1. Trägheit: Der Körper setzt jeder Änderung von Betrag und/oder Richtung seiner Geschwindigkeit einen Widerstand entgegen – er zeigt eine zu seiner Masse proportionale Trägheit.
  2. Passive Gravitationsladung: Auf den Körper wirkt in einem Gravitationsfeld (Schwerefeld) eine zu seiner Masse proportionale Kraft.
  3. Aktive Gravitationsladung: Der Körper erzeugt ein Gravitationsfeld, dessen Stärke zu seiner Masse proportional ist.

Um die erste Eigenschaft hervorzuheben, bezeichnet man die Masse auch als träge Masse, für die zweite und/oder dritte Eigenschaft als schwere Masse. Jedoch wurde bisher in Messungen, deren Genauigkeit auf zwölf signifikante Dezimalstellen gesteigert werden konnte, keinerlei Differenz zwischen träger und schwerer Masse festgestellt. Die Annahme, dass es sich um ein und dieselbe physikalische Größe handelt, gehört zum Äquivalenzprinzip der Physik.

Die SI-Basiseinheit der Masse, das Kilogramm (kg), wird über eine Referenzmasse definiert: Ein Kilogramm ist die Masse des internationalen Kilogrammprototyps.

Messung[Bearbeiten]

Direkte Massenbestimmung[Bearbeiten]

Die sogenannte direkte Messung der (schweren) Masse erfolgt am ruhenden Körper durch Vergleich mit einer Referenzmasse. Zwei Massen sind gleich, wenn sie im selben Schwerefeld die gleiche Gewichtskraft haben. Dies kann man mit einer Balkenwaage überprüfen. Dabei ist die Stärke des Schwerefeldes unerheblich, es muss nur von Null verschieden und an den Orten der beiden Körper gleich sein. Zur Festlegung der Masseneinheit siehe Urkilogramm.

Indirekte Massenbestimmung[Bearbeiten]

Die Masse kann auch über Kräfte und Beschleunigungen bestimmt werden. In der newtonschen Mechanik ist jede Bewegungsänderung proportional zu der Kraft, welche die Bewegungsänderung verursacht hat (s. u.: \vec{F} = m \cdot \vec{a}). Masse ist somit die Proportionalitätskonstante zwischen Kraft und Beschleunigung:

m=\frac{|\vec{F}|}{|\vec{a}|}

Die Beschleunigung \vec{a} gibt dabei die durch eine Kraft \vec{F} verursachte Geschwindigkeitsänderung an.

Beispiel zur trägen Masse: Wird ein Körper durch die konstante Kraft F=6 \,\mathrm{N} innerhalb des Zeitintervalls \Delta t=2 \,\mathrm{s} um \Delta v=3 \,\mathrm{\tfrac{m}{s}} schneller, so ist seine Beschleunigung

a= \frac{\Delta v}{\Delta t} \;=\; 1{,}5 \,\mathrm{\frac{m}{s^2}}.

Seine Masse beträgt dann

m=\frac{F}{a} \;=\; 4\,\mathrm{kg}.

Beispiel zur schweren Masse: Durch die Gravitation der Erde werden frei fallende Körper mit

a = 9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} \qquad \left(= \text{Ortsfaktor } g = 9{,}81\,\mathrm{\frac{N}{kg}}\right)

beschleunigt. Ein Körper, der auf der Erdoberfläche mit der Gewichtskraft F=6 \,\mathrm{N} angezogen wird, hat die Masse

m=\frac{F}{a} \;=\; 0{,}612\,\mathrm{kg}.

Verwandte Größen[Bearbeiten]

Die Masse ist eine extensive Größe. Das bedeutet, dass zwei Körper der Masse m insgesamt die doppelte Masse 2m haben. Intensive Größen ändern sich bei der Systemverdopplung nicht. Mit der Masse verwandt sind folgende intensive Größen:

  • Bezieht man die Masse auf das Volumen V, erhält man die Dichte \rho \,=\, \frac{m}{V} mit der SI-Einheit [\rho]=1\mathrm{\frac{kg}{m^3}}.
Man kann also bei bekannter Dichte die Masse eines homogenen Körpers aus seinem Volumen berechnen.
Man kann also bei bekannter molarer Masse die Masse eines Reinstoffs aus seiner Stoffmenge berechnen.

Klassische Physik[Bearbeiten]

In der klassischen Physik ist die Masse eine Erhaltungsgröße. Das bedeutet, dass sich die Masse in einem geschlossenen System nicht ändert. Wenn beispielsweise ein Stück Holz verbrennt, dann haben nach der klassischen Physik die entstehenden Verbrennungsabgase und die Asche nach der Verbrennung exakt die gleiche Masse wie das Holzstück und der verbrauchte Luftsauerstoff vor der Verbrennung. Dies wird als selbstverständliche empirische Tatsache angenommen, ohne dafür eine Begründung zu geben.

Ebenso wenig erklärt die klassische Mechanik die Äquivalenz von schwerer und träger Masse.

Als schwere Masse bezeichnet man sowohl die Quelle der Gravitationskraft als auch die „Gravitationsladung“. Die von der Masse M_\mathrm{s} auf die Masse m_\mathrm{s} ausgeübte Kraft ist

\vec{F} \,=-\ G\frac{m_\mathrm{s} M_\mathrm{s}}{|\vec{r}|^2} \, \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|},

wobei die Massen punkt- oder kugelförmig gedacht sind und \vec{r} der Vektor von M_\mathrm{s} nach m_\mathrm{s} ist. G ist die Gravitationskonstante, eine Naturkonstante.

Die träge Masse m ist in der newtonschen Mechanik das, was sich einer Beschleunigung widersetzt. Um den Bewegungszustand eines Körpers zu ändern, muss man daher eine Kraft \vec F aufwenden. Je größer diese Kraft ist, umso stärker ändert sich der Impuls. Dies wird durch das 2. newtonschen Axiom, das Aktionsprinzip, ausgedrückt:

\vec{F} = \frac{\mathrm d \vec{p}}{\mathrm d t}

Daraus ergibt sich mit dem Impuls p=m \, v für Körper mit konstanter Masse die Bewegungsgleichung zu „Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung“, der „Grundgleichung der Mechanik“:

\vec{F} = m \, \vec{a}

Hier ist die träge Masse also der Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft und Beschleunigung. (Letzteres gilt übrigens nicht für Körper mit zeitlich veränderlichen Massen wie etwa bei einer Rakete).

Spezielle Relativitätstheorie[Bearbeiten]

In der speziellen Relativitätstheorie ist der Impuls \vec{p} nicht wie bei Newton das Produkt von Masse m und Geschwindigkeit \vec{v}, sondern es gilt

\vec{p} = \frac{m\,\vec{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\,.

Damit ist die Bewegung eines Körpers mit Licht- (v = c) oder Überlichtgeschwindigkeit (v > c) ausgeschlossen.

Relativistische Masse[Bearbeiten]

Die relativistische Masse ist das Produkt Lorentzfaktor γ mal Ruhemasse m.

Um dennoch die Newtonsche Formel beibehalten zu können, wurde der Begriff relativistische Masse

m_{\text{rel.}}(v) = \frac{m}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

eingeführt, sodass \vec p = m_{\text{rel.}}(|\vec v|)\,\cdot \vec v gilt. Die Größe m wird in diesem Zusammenhang „Ruhemasse“ genannt und oft mit m_0 bezeichnet: m_0 = m_{\text{rel.}}(v\mathord=0). Der Begriff der relativistischen oder relativistisch veränderlichen Masse wird in der populären Literatur und teilweise auch in der Experimentalphysik heute noch benutzt, jedoch zunehmend vermieden, weil die relativistische Masse m_{\text{rel.}}(v) an Stelle von m nur in den Gleichungen für den Impuls und für die relativistische Energie E=m_{\text{rel.}}(v)\,\cdot c^2 zu richtigen Ergebnissen führt, im newtonschen Gravitationsgesetz und im newtonschen Gesetz \vec{F}=m_{\text{rel.}}(v) \cdot \vec{a} eingesetzt aber falsche Ergebnisse hervorbringt (außer wenn die Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung steht).

Die Kraft \vec{F} ist gleich der zeitlichen Änderung des Impulses, in der speziellen Relativitätstheorie

\vec F = \frac{\mathrm{d}\vec p}{\mathrm{d}t} =  \frac{m\,\vec a}{\sqrt{1- v^2/c^2}} +
\frac{m\,\vec{v}\,(\vec{v}\cdot\vec{a})}{c^2\,(\sqrt{1- v^2/c^2})^3}

oder, nach der Beschleunigung \vec{a} aufgelöst,

\vec{a} = \frac{1}{\sqrt{m^2+ p^2/c^2}} \bigl(\vec{F} - \vec v (\vec v \cdot \vec F)/c^2\bigr)\,.

Man sieht, dass die Beschleunigung nicht immer in Richtung der Kraft zeigt, sondern i. A. auch einen Anteil in Richtung der Geschwindigkeit hat. Eine Kraft \vec F bewirkt bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten des Teilchens verschiedene Beschleunigungen. Die Masse ist also kein einfacher Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft und Beschleunigung wie in der newtonschen Mechanik. Die unterschiedliche Trägheit in Richtung der Bewegung und quer dazu hatte man zunächst mit den Begriffen der longitudinalen und transversalen Masse zu erfassen versucht, die aber heute nicht mehr verwendet werden.

In diesem und anderen Artikeln wird die Größe m_{\text{rel.}}(v) nicht weiter verwendet, und das Symbol m für die Masse hat stets die Bedeutung der Ruhemasse, also m= m_0.

Ruheenergie[Bearbeiten]

Unter der Ruheenergie E_0 versteht man die Energie eines Körpers in seinem Ruhesystem. Sie ist eine feststehende Eigenschaft des Körpers, die nicht von seinem Bewegungszustand abhängt. Es gilt:

E_0 = m c^2 .

Damit ist die Ruhenergie durch die Masse des Körpers eindeutig bestimmt und umgekehrt. Beide Größen unterscheiden sich nur durch den konstanten Faktor c^2 und sind daher äquivalent (siehe Äquivalenz von Masse und Energie).

Die Masse verknüpft die Energie E und den Impuls über die allgemeingültige Energie-Impuls-Beziehung (Herleitung siehe Viererimpuls):

\left(m\, c^2\right)^2 = E^2 - p^2 c^2.

Gemäß dieser Gleichung liegen im vierdimensionalen Raum aller denkbaren Energie- und Impulswerte die physikalisch möglichen Energien eines Teilchens der Masse m auf einer dreidimensionalen Fläche, der sogenannten Massenschale. Sie ist ein Hyperboloid (y^2-x^2=1 beschreibt eine Hyperbel in der xy-Ebene).

Für einen ruhenden Körper (\vec p \mathord= 0) wird aus der Energie-Impuls-Beziegung Einsteins berühmte obige Gleichung E_0= mc^2.

Für ein Teilchen ohne Masse folgt E = |\vec{p}| c\,. Solche Teilchen bewegen sich relativ zu jedem Bezugssystem mit der in der speziellen Relativitätstheorie postulierten oberen Grenzgeschwindigkeit, der Lichtgeschwindigkeit. Dies ist etwa bei Photonen der Fall. Der umgekehrte Schluss ist ebenfalls richtig: Teilchen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, sind masselos.

Invariante Masse und Schwerpunktsenergie[Bearbeiten]

Hauptartikel: Schwerpunktsenergie

Von der Ruhemasse eines Teilchens wird die invariante Masse, mehrerer freier Teilchen unterschieden:

\left(m_{\text{invariant}}\,c^2\right)^2 = \left(\sum_{i=1}^N E_i\right)^2 - \left(\sum_{i=1}^N \vec{p}_i\right)^2\,c^2,

wobei N die Anzahl der Teilchen ist. Nach Division durch den konstanten Faktor c^2 ergibt sich daraus die Schwerpunktsenergie. Diese physikalische Größe ist invariant unter Lorentztransformation. Sie gibt den Energiebetrag an, der für die Erzeugung neuer Teilchen bei einer Teilchenkollisionen zur Verfügung steht. Die Schwerpunktenergie ist daher in der experimentellen Teilchenphysik von Bedeutung. Die Formel zur Berechnung der Schwerpunktenergie kann für N=1 auch auf ein einzelnes Teilchen angewandt werden und stimmt dann gerade mit dessen Masse überein.

Massendefekt[Bearbeiten]

Hauptartikel: Massendefekt

Gibt ein geschlossenes System Energie über die Systemgrenzen z. B. in Form von Strahlung ab, so verringert sich der Energieinhalt des Systems und damit seine Masse. In diesem Sinne ist die Masse in der modernen Physik keine Erhaltungsgröße mehr, wenngleich sich dies in alltäglichen Situationen kaum bemerkbar macht.

Bei Kernreaktionen werden jedoch Energiemengen freigesetzt, die gegenüber der Ruhenergie der Kernbausteine nicht mehr zu vernachlässigen sind. Die Tatsache, dass die Bindungsenergie dazu führt, dass ein Atomkern eine geringere Masse hat als die Summe seiner Bausteine, wird Massendefekt genannt. Die Bindungsenergie liegt bei den meisten Atomkernen zwischen 7 und 9 MeV pro Nukleon und bewirkt dadurch einen Massendefekt zwischen 0,7 und 0,9 Prozent. Sehr leichte Atomkerne (2H, 3H, 3He, Li, Be, B) weisen mit 1 bis 6 MeV geringere Bindungsenergien pro Nukleon und mit 0,1 und 0,6 Prozent geringere Massendefekte auf.

Die Bindungsenergie chemischer Bindungen liegt mit typischen 2 bis 7 eV pro Bindung (pro Nukleon wäre sie entsprechend dem Molekülgewicht noch einmal deutlich kleiner) um 7 bis 9 Größenordnungen darunter. Daher konnte ein chemischer Massendefekt bisher noch nicht durch Wägung nachgewiesen werden.

Zwar liegen die Werte bei einigen Reaktionen im Bereich der Nachweisgrenze aktueller Massekomparatoren (1\ldots2\cdot 10^{-8} Prozent): Der größte chemische Massendefekt ist 2{,}25\cdot 10^{-7} Prozent bei der Bindung \mathrm{2 H\ \rightarrow\,H_2}. Zu \mathrm{Li + F\ \rightarrow\ LiF} gehört ein Massendefekt von 2{,}47\cdot 10^{-8} Prozent. Jedoch sind diese Reaktionen stark exotherm und müssten daher in dickwandigen und absolut dichten Reaktionsgefäßen stattfinden, so dass die relative Massenänderung, die nach dem Abkühlen zu beobachten wäre, mit <10^{-9} Prozent in einem nicht mehr nachweisbaren Bereich liegt.

Dass im Bereich der Chemie der Massendefekt sich der Messung entzieht, ist seinerseits die Grundlage des von Antoine Lavoisier entdeckten Massenerhaltungssatzes. Diese Erkenntnis trug Ende des 18. Jahrhunderts maßgeblich zur Abkehr von der Alchemie und Phlogistontheorie bei und wurde damit eine wichtige Grundlage der auf die chemischen Elemente gestützten Chemie.

Allgemeine Relativitätstheorie[Bearbeiten]

In der allgemeinen Relativitätstheorie wird der freie Fall von Teilchen im Gravitationsfeld als kräftefrei verstanden. Kräfte bewirken, dass die Bahnkurven vom freien Fall abweichen. An der Größe der Kraft, mit der Teilchen vom freien Fall abgehalten werden, zeigt sich ihre träge Masse.

Die Weltlinien frei fallender Teilchen sind die Geraden (genauer: Geodäten) der Raumzeit. Sie sind in Übereinstimmung mit allen Beobachtungen vollständig durch den anfänglichen Ort und die anfängliche Geschwindigkeit festgelegt und hängen nicht von anderen Eigenschafte wie Größe oder Masse des frei fallenden Teilchens ab (Äquivalenzprinzip). Da die Raumzeit gekrümmt ist, ergibt die Projektion der Geodäten auf den dreidimensionalen Ortsraum normalerweise keine Geraden, sondern beispielsweise Wurfparabeln.

Quelle der Gravitation ist in der Grundgleichung der Allgemeinen Relativitätstheorie der Energie-Impuls-Tensor, das heißt: Energiedichte, Impulsdichten, Energieströme und Impulsströme. Da die Energie ruhender Teilchen durch ihre Masse bestimmt ist, bewirkt die Masse ruhender Teilchen Gravitation. Kann man die Bewegung der gravitationserzeugenden Körper vernachlässigen und ist die Geschwindigkeit der frei fallenden Teilchen klein gegen die Lichtgeschwindigkeit, so wirkt sich die Masse der gravitationserzeugenden Körper wie in Newtons Gravitationstheorie aus. Für Licht als Testteilchen trifft diese Einschränkung nicht zu: Es wird an der Sonne doppelt so stark abgelenkt, wie nach Newton zu erwarten wäre.

An ihrer gravitativen Auswirkung kann man in großen Abständen von den gravitationserzeugenden Energie- und Impulsdichten die ADM-Masse ablesen. Sie verändert sich nicht im Laufe der Zeit, da Strahlung nicht in endlicher Zeit unendliche räumliche Entfernungen durchläuft. Die Bondi-Masse wird in der Allgemeinen Relativitätstheorie für große Zeiten und dabei mit Lichtgeschwindigkeit zunehmenden Abständen abgelesen. Sie vermindert sich durch Abstrahlung und ist nichtnegativ, das heißt, in der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Energie, die abgestrahlt werden kann, nach unten beschränkt.

Ursprung der Massen der Elementarteilchen[Bearbeiten]

Im Standardmodell der Elementarteilchenphysik wird der Ursprung der Massen der Elementarteilchen durch den Higgs-Mechanismus erklärt. Durch Wechselwirkung mit dem Higgs-Boson, einem skalaren Elementarteilchen, das möglicherweise experimentell beobachtet wurde,[2] erhalten sie eine Masse, wenn das dazugehörende Higgs-Feld auch im Vakuum nicht verschwindet.[3] Nur die Masse des Higgs-Bosons selbst wird hierdurch nicht erklärt.

Die Massen der Baryonen, zu denen auch Proton und Neutron gehören, sind allerdings ca. 100-mal größer als die Massen der drei Quarks, aus denen sie bestehen. Die Baryonenmassen werden dynamisch erklärt. Ansätze zur Berechnung liefern Gitterrechnungen in der QCD. Halb anschaulich kann man mit der geringen Ausdehnung der Baryonen von etwa 10−15 m argumentieren: Wenn sich die Quarks im Baryon auf so kleinem Raum konzentrieren, haben sie eine so kurze de-Broglie-Wellenlänge, dass ihre kinetische Energie E_\text{kin} nach Einsteins Formel E=m c^2 erhebliche Masse bedeutet. Drei solcher Konstituenten-Quarks ergeben dann tatsächlich etwa die Masse des Protons oder Neutrons.

Die Baryonen machen den größten Teil der Masse sichtbarer Materie aus. Es wird vermutet, dass „WIMPs“ (engl. weakly interacting massive particles) wie etwa das hypothetische LSP (engl. lightest supersymmetric particle) die nicht sichtbare Dunkle Materie aufbauen könnten.

Sprachgebrauch: Masse und Gewicht[Bearbeiten]

Im allgemeinen Sprachgebrauch wird die Masse eines Objekts auch als Gewicht bezeichnet. Beispiele sind das Übergewicht, Leergewicht, Abtropfgewicht oder Gewichtsangaben in Kochrezepten. Dies trifft auch auf viele Gesetze und Verordnungen zu. Beispiele sind das Deutsche Mutterschutzgesetz[4] und das Schweizer Straßenverkehrsgesetz[5].

Beim Gleichsetzen von Masse und Gewichtskraft kann der Eindruck entstehen, die Masse hänge von der vor Ort herrschenden Schwerkraft ab. So ist die folgende Aussage missverständlich: „Auf dem Mond wiegt ein 60 kg schwerer Mensch nur ungefähr 10 kg.“ Klarer ist: „Ein Mensch mit einer Masse von 60 kg wiegt auf dem Mond ungefähr so viel, wie ein Mensch mit einer Masse von 10 kg auf der Erde wiegt.“

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten]

  1. Markus Pössel: Träge und schwere Masse. Einstein Online Vol. 04 (2010), 1119.
  2. CERN experiments observe particle consistent with long-sought Higgs boson. Pressemitteilung von CERN. 4. Juli 2012. Abgerufen am 4. Juli 2012.
  3. In supersymmetrischen Theorien könnte ein ähnlicher Mechanismus auch durch andere Teilchen (Goldstinos) vermittelt werden (siehe Goldstonetheorem, Gravitino und:  DELPHI Collaboration: P. Abreu et al.: Search for the sgoldstino at √s from 189 to 202 GeV. In: CERN-EP/2000-110. 16. August 2000 (http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/01/04/35/PDF/democrite-00006827.pdf).)
  4. Etwa § 4(2): „Lasten von mehr als fünf Kilogramm Gewicht“, vgl. Text von § 4 des Deutschen Mutterschutzgesetzes.
  5. Etwa Art. 9: „Das höchstzulässige Gewicht für Fahrzeuge oder Fahrzeugkombinationen beträgt 40 t“, vgl. Text (PDF; 357 kB) des Schweizer Straßenverkehrsgesetzes.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Max Jammer Der Begriff der Masse in der Physik Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1964 (Concepts of Mass in Classical and Modern Physics, Harvard 1961, deutsch)
  •  Gordon Kane: Das Geheimnis der Masse. In: Spektrum der Wissenschaft. Nr. 2, Spektrum der Wissenschaft Verlag, 2006, ISSN 0170-2971, S. 36–43.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Mass – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien