Relativistischer Impuls

Bei Stößen und anderen Wechselwirkungen von Teilchen erweist sich der Impuls als additive Erhaltungsgröße: die Summe der anfänglichen Impulse stimmt mit der Summe der Impulse nach der Wechselwirkung überein.

In der speziellen Relativitätstheorie hängt der Impuls $\mathbf p$ eines Teilchens der Masse m nichtlinear von der Geschwindigkeit $\mathbf v$ ab,

$\mathbf p = \gamma m \mathbf v = \frac{m \, \mathbf v}{\sqrt{1-\frac{\mathbf v^2}{c^2}}}\,.$

dabei ist γ der Lorentzfaktor. Für nicht relativistische Geschwindigkeiten(v<<c) ist γ gleich 1 und verschwindet somit. So erhält man für kleine Geschwindigkeiten annähernd den klassischen Impuls wie in der Newtonsche Mechanik

$\mathbf p_{\text{Newton}} = m \, \mathbf v\,.$

Nach dem Noether-Theorem gehört zur Impulserhaltung die Symmetrie der Wirkung unter räumlichen Verschiebungen.

Wird durch eine Kraft $\mathbf F$ Impuls im Laufe der Zeit auf ein Teilchen übertragen, so ändert sich dadurch sein Impuls. Kraft ist Impulsübertrag pro Zeit,

$\mathbf F =\frac{\mathrm d \mathbf p}{\mathrm d t}\,.$

Herleitung

Wie der Impuls und die Energie eines Teilchens der Masse m in relativistischer Physik von der Geschwindigkeit $\mathbf v$ abhängen, folgt daraus, dass diese Größen für jeden Beobachter additive Erhaltungsgrößen sind.

Es ergibt sich auch aus der Wirkung

$S[\mathbf X] = \int \, {\mathcal L}\bigl(t,\mathbf x(t),\frac{\mathrm d\mathbf x}{\mathrm d t}(t)\bigr) \, \mathrm d t$

mit der Lagrangefunktion

${\mathcal L}(t,\mathbf x,\mathbf v)=-m \, c^2\sqrt{1-\frac{\mathbf v^2}{c^2}}\,.$

Da die Lagrangefunktion nicht vom Ort $\mathbf x$ abhängt, (das heißt, die Komponenten $x^i\,,i=1,2,3\,,$ sind zyklisch), ist die Wirkung invariant unter räumlichen Verschiebungen. Die nach Noether-Theorem zugehörige Erhaltungsgröße ist definitionsgemäß der Impuls. Im vorliegenden Fall ist dies der zu $\mathbf x$ konjugierte Impuls mit Komponenten

$p_i=\frac{\partial {\mathcal L}}{\partial v^i}=\frac{m \,v^i}{\sqrt{1-\mathbf v^2/c^2}}\,,\qquad$ also

$\mathbf p=\frac{m \,\mathbf v}{\sqrt{1-\mathbf v^2/c^2}}\,.$

Da die Lagrangefunktion nicht von der Zeit t abhängt, ist nach Noether-Theorem die Energie

$E= v^i \frac{\partial {\mathcal L}}{\partial v^i}-{\mathcal L}= \frac{m\,c^2}{\sqrt{1-\mathbf v^2/c^2}}$

erhalten. Fassen wir hier die Geschwindigkeit als Funktion des Impulses auf,

$\mathbf{v}=\frac{\mathbf p}{\sqrt{m^2+\mathbf p^2/c^2}}\,,$

wie sie sich umgekehrt aus $\mathbf p(\mathbf v)$ ergibt, so erhalten wir die Energie als Funktion der Phasenraumvariablen, die Hamilton-Funktion

$H(t, \mathbf {x},\mathbf {p})=\sqrt{m^2\,c^4+\mathbf p^2\,c^2}$.

Die Energie und der Impuls erfüllen also die Energie-Impuls-Beziehung und liegen auf der Massenschale.