Reproduktivität

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Die Reproduktivität einer Wahrscheinlichkeitsverteilung besagt, dass die Summe von unabhängigen Zufallsvariablen eines bestimmten Verteilungstyps wieder nach diesem Typ verteilt ist.

Reproduktiv sind etwa die Normalverteilung, die Poisson-Verteilung, die Gammaverteilung, die Chi-Quadrat-Verteilung und die Cauchy-Verteilung. Eine mit der Reproduktivität eng verwandte Eigenschaft ist die unendliche Teilbarkeit.

Beispiel[Bearbeiten]

Die Zufallsvariablen X1 und X2 seien unabhängig und normalverteilt als

X_1\sim N(\mu_1;\sigma_1^2)\quad \text{und} \quad X_2 \sim N(\mu_2;\sigma_2^2).

Die Zufallsvariable Y=X_1+X_2 ist dann ebenfalls normalverteilt als

Y\sim N(\mu_1 + \mu_2;\sigma_1^2 + \sigma_2^2).

Mehrere Parameter[Bearbeiten]

Wird eine Verteilung durch zwei oder mehrere Parameter beschrieben, so kann es vorkommen, dass Abgeschlossenheit nur bzgl. eines Parameters bei Festhalten der übrigen Parameter vorliegt. Sind zum Beispiel  X_n, X_m binomialverteilt mit Parametern  n,m und  p , also X_n \sim B_{n,p} und X_m \sim B_{m,p}, so ist (X_n+X_m)\sim B_{n+m,p} . Für fixiertes  p ist also die Binomialverteilung  B_{n,p} reproduktiv bezüglich  n . Obiges Beispiel der Normalverteilung zeigt, dass Abgeschlossenheit bei mehreren Parametern auch ohne eine solche Einschränkung vorliegen kann.