Retardierte Differentialgleichung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Retardierte Differentialgleichungen sind ein spezieller Typ Differentialgleichung, oft auch als DDE (Delayed Differential Equation) abgekürzt oder als Differentialgleichung mit nacheilendem Argument bezeichnet. Bei ihnen hängt die Ableitung einer unbekannten Funktion zum Zeitpunkt t nicht nur vom Funktionswert an diesem Zeitpunkt ab, sondern auch von Funktionswerten an früheren Zeitpunkten t-\tau_i oder von Integralen über die Funktion über vergangene Zeitintervalle. DDEs spielen in Modellen eine Rolle, in denen die Wirkung erst verspätet (retardiert) auf die Ursache folgt. Bekannte Beispiele sind in der Epidemiologie (Infektion, Inkubationszeit), Populationsentwicklung in der Biologie (Fortpflanzung, Geschlechtsreife) und Regelungstechnik (Verzögerungszeit) zu finden.

Notation[Bearbeiten]

Eine DDE mit einer unbekannten Funktion x(t) und einer punktweisen Verzögerung kann als

\dot x=f(t,x(t),x_{\tau_1},\ldots x_{\tau_n}) notiert werden, mit
\dot x=\frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t) und x_{\tau_n}=x(t-\tau_n).

Eine DDE mit kontinuierlicher Verzögerung kann als

\dot x=f\left(t,x(t),\int_{-\infty}^0x(t+\tau){\rm d}\mu(\tau)\right)

geschrieben werden.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Populationsentwicklung
Sei x die Populationsdichte geschlechtsreifer Individuen, \tau die Dauer bis zur Geschlechtsreife, \alpha die pro-Kopf Fortpflanzungsrate, \mu die Sterberate und p die Wahrscheinlichkeit, dass die Geschlechtsreife erreicht wird. Dann entwickelt sich die Populationsdichte gemäß
\dot x=-\mu x(t)+\alpha p x(t-\tau) [1]

Besonderheiten[Bearbeiten]

Populationsentwicklung einer Art

Im Vergleich zu den Anfangswerten bei nicht-verzögerten Differentialgleichungen muss bei DDEs die Funktion x(t) über ein Zeitintervall gegeben sein, das mindestens so lang wie die maximale Verzögerung ist. Da man nun keine n Startwerte wie bei nicht-verzögerten Anfangswertproblemen, sondern Startfunktionen mit prinzipiell unendlich vielen Parametern hat, spricht man auch von unendlich-dimensionalen Systemen. Eine weitere Besonderheit ist, dass Diskontinuitäten in den Anfangsbedingungen schrittweise auf höhere Ableitungen verlagert werden. Wird z.B. obige DDE mit den Parametern \mu=-0.1, \alpha p = 0.5,\tau=3 mit x(t)=0 bei -3\le t < 0 und x(0)=10 initialisiert, ergibt sich die abgebildete Populationsentwicklung. Zum Zeitpunkt t=3 wird der bei t=0 vorhandene Sprung von x=0 auf x=10 auf die erste Ableitung \dot x übertragen, bei t=6 wird die Diskontinuität von der ersten Ableitung auf die zweite übertragen und so weiter, siehe auch das Beispiel schrittweises Integrieren. Anfängliche Unstetigkeiten klingen bei DDEs mit der Zeit ab.

Lösungsmethoden[Bearbeiten]

Die meisten DDE haben keine analytische Lösung, so dass man auf numerische Verfahren angewiesen ist.[2].

Schrittweises Integrieren[Bearbeiten]

Ist eine Trennung der Variablen möglich, kann durch schrittweises Integrieren eine geschlossene Lösung gewonnen werden. Zur Veranschaulichung betrachte man eine DDE mit einer Verzögerungszeit \tau:

\frac{\rm d}{\rm{d}t}x(t)=f(x(t),x(t-\tau))

und der Anfangsbedingung \phi(t):[-\tau,0] \to \mathbb{R}^n.

Die Lösung x_1(t) auf dem Intervall [0,\tau] ist dann durch die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems

\frac{\rm d}{\rm{d}t}x_1(t)=f(x_1(t),\phi(t-\tau))

gegeben mit x_1(0)=\phi(0). Nun kann die Lösung x_1(t) als Anfangsbedingung \psi(t):=x_1(t) für die Lösung x_2(t) auf dem Intervall [\tau,2\tau] verwendet werden. Durch N-fache Wiederholung dieser Schritte kann eine geschlossene Lösung auf dem Intervall [0,N\tau] gefunden werden.

Beispiel[Bearbeiten]

Die DDE \frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t)=x(t-1) mit der Anfangsbedingung x(t)=\phi(t)=1 für t\le 0 führt zur inhomogenen Differentialgleichung

\frac{\rm d}{{\rm d}t}x_1(t)=1 für t\in[0,1].

Durch Trennung der Variablen gewinnt man

\int_{x_1(0)}^{x_1(t)}{\rm d}x'=\int_{0}^t 1 {\rm d}t'
x_1(t)-1=t
x_1(t)=t+1,

womit die Lösung für das Intervall 0\le t\le1 bekannt ist. Für das Intervall 1\le t\le2 findet man

\int_{x_2(1)}^{x_2(t)}{\rm d}x'=\int_{1}^t t' {\rm d}t'
x_2(t)-2=\frac{t^2}{2}-\frac{1}{2}
x_2(t)=\frac{t^2}{2}+\frac{3}{2},

und so weiter. Die Gesamtlösung ist dann als zusammengesetzte Funktion dieser Teillösungen gegeben:

x(t)=\begin{cases} x_1(t), & 0\le t\le 1 \\ x_2(t), & 1\le t\le 2 \\ \dots, & \dots \\ x_N(t), & N-1\le t\le N\end{cases}.

Als nicht-verzögertes DGL-System umschreiben[Bearbeiten]

Manchmal kann man kontinuierliche DDE als ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen schreiben.

Beispiel[Bearbeiten]

\frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t)=f\left(t,x(t),\int_{-\infty}^0x(t+\tau)e^{\lambda\tau}{\rm d}\tau\right).

Durch die Substitution y(t)=\int_{-\infty}^0x(t+\tau)e^{\lambda\tau}{\rm d}\tau erhält man durch partielle Integration

\frac{\rm d}{{\rm d}t}x(t)=f(t,x(t),y(t)),\quad \frac{\rm d}{{\rm d}t}y(t)=x(t)-\lambda y(t).

Weblinks[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

  1. O. Arino, M.L. Hbid, E. Ait Dads (Hrsg.): Delay Differential Equations and Applications. In: NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. Springer-Verlag, Niederlande 2006.
  2. M. R. Roussel: Delay-differential equations. (PDF; 110 kB) 2005.