Reziproker Raum

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Der reziproke Raum, oder k-Raum, ist ein Begriff aus der Kristallographie, der auch in der Festkörperphysik und der Festkörperchemie bei der Kristallstrukturanalyse verwendet wird.

[Bearbeiten] Beschreibung

Wir betrachten zunächst ein Kristallgitter, einer regelmäßigen Anordnung von Punkten im Raum, die durch ihre Translationssymmetrie beschrieben wird. Ein Gitter, das im 3-dimensionalen Fall durch ganzzahlige Vielfache und Summen einer Menge von drei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, ist ein Spezialfall davon, den man Bravais-Gitter nennt. Sind die drei primitiven Gittervektoren (Basisvektoren) durch \vec e_1, \vec e_2 und \vec e_3 gegeben, so stellen die Translationen (mit ganzzahligen l, m, n) die Gitterpunkte des Bravais-Gitters dar:

\vec R = l \vec e_1 + m \vec e_2 + n \vec e_3

Eine Verschiebung des Kristalls um einen Gittervektor \vec R führt den Kristall wegen der Translationssymmetrie in sich über.

Man kann sich nun ebene Wellen vorstellen \exp(\mathrm{i}\vec K \vec r - \mathrm{i}\omega t), deren ebene Wellenfronten Punkte des Bravais-Gitters schneiden. Die ebene Welle soll die Periodizität des gegebenen Bravaisgitters \left\{ \vec{R}\right\} besitzen:

\exp\left(\mathrm{i}\vec K \vec r- \mathrm{i}\omega t\right) = \exp\left(\mathrm{i}\vec K (\vec r + \vec R)- \mathrm{i}\omega t\right)

Daraus folgt mit allen Gittervektoren \vec R des gegebenen Bravaisgitters die Bedingung für die Wellenvektoren \vec K:

\exp\left(\mathrm{i}\vec K \vec R\right) = 1   oder   \vec K \vec R\ = 2 \pi n,\quad n\in\mathbb{Z}

Die Menge aller Lösungen \left\{ \vec{K}\right\}, die dieser Bedingung genügen, bilden selbst ein Bravais-Gitter. Es heißt reziprokes Gitter.

Der reziproke Raum ist somit der Raum der Wellenvektoren oder auch der Fourier-Raum der Gitterpunkte.

[Bearbeiten] Siehe auch

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Reziproker_Raum“
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