Reziprokes Polynom

In der Mathematik ist ein reziprokes Polynom ein Polynom, dessen Koeffizienten in einem geeigneten Sinne symmetrisch sind:

Ein Polynom

$c_nX^n + c_{n-1}X^{n-1} + \ldots + c_1 X + c_0$

vom Grad $n$ heißt reziprok, wenn $c_k = c_{n-k}\,$ für k=0,...,n gilt (die Folge der Koeffizienten ist also spiegelsymmetrisch).

Dies ist genau dann der Fall, wenn

$p(X) = X^n\cdot p\!\left(\frac1X\right)$.

Manchmal wird das Polynom $p^*(X) = X^n\cdot p\!\left(\frac1X\right)$ das reziproke Polynom von $p(X)$ genannt.

In diesem Fall nennt man Polynome, die die Symmetriebedingung erfüllen, selbst-reziprok - dies ist die übliche Sprechweise in der englischsprachigen Fachliteratur.

Reziproke Polynome werden oft auch über endlichen Körpern verwendet.

Beispiele

1. Die Kreisteilungspolynome sind reziprok.
2. Alexanderpolynome von Knoten (siehe Knotentheorie) sind reziprok. Für ein Alexanderpolynom der Form $c_0+c_1 t + \cdots + c_0 t^n$ führt (nach Skalierung mit $t^{-n/2}$) die Substitution $z^2=t+\frac{1}{t}-2$ auf das Conway-Polynom.

Eigenschaften

Reziproke Polynome haben zum Beispiel folgende Eigenschaften:

• Ist $x$ eine Nullstelle eines reziproken Polynoms, so ist auch $1/x$ eine Nullstelle.
• Daraus folgt: ist der Grad eines reziproken Polynoms $p$ ungerade, so ist $-1$ eine Nullstelle. Dann ist $p(X)$ durch $X+1$ teilbar. Der Quotient (siehe Polynomdivision) ist wieder ein reziprokes Polynom.
• Ist der Grad $n=2k$ eines reziproken Polynoms $p$ gerade, so kann $p(X)$ geschrieben werden als

$p(X) = X^k q\!\left(X+\frac1X\right)$

mit einem eindeutig bestimmten Polynom $q$ vom Grad $k=n/2$. Die Nullstellen von $p$ sind also genau die Lösungen $x$ von

$x + \frac1x = z$

für die Nullstellen $z$ von $q$.

Varianten

Variante 1

Man kann die Symmetriebedingung folgendermaßen abwandeln: Polynome

$c_nX^n + c_{n-1}X^{n-1} + \ldots + c_1 X + c_0$

vom Grad $n$, für die

$c_k = -c_{n-k}\,$ für k=0,...,n

gilt, haben ähnliche Eigenschaften wie reziproke Polynome:

• Sie sind genau die Polynome $p$ vom Grad $n$, die $p(X) = -X^n\cdot p\!\left(\frac1X\right)$ erfüllen.
• Ist $x$ eine Nullstelle, so auch $1/x$. Jedes solche Polynom hat die Nullstelle 1.

Variante 2

Wir nehmen an, dass der verwendete Grundkörper nicht Charakteristik 2 hat.

Man kann Polynome

$c_nX^n + c_{n-1}X^{n-1} + \ldots + c_1 X + c_0$

vom Grad $n$ betrachten, deren Koeffizienten

$c_k = (-1)^kc_{n-k}\,$ für k=0,...,n

erfüllen. Nichttriviale Polynome dieser Art sind nur für gerade $n$ möglich.

Sie haben folgende Eigenschaften:

• Sie sind charakterisiert durch

$p(X) = X^n\cdot p\!\left(-\frac1X\right).$

• Ist $x$ eine Nullstelle, so auch $-1/x.$
• Ist $n$ nicht durch 4 teilbar, so sind $\mathrm i$ und $-\mathrm i$ Nullstellen. Ein solches Polynom ist also durch $X^2+1$ teilbar; der Quotient ist wieder ein Polynom derselben Art, dessen Grad durch 4 teilbar ist.
• Ist $n=4k$ durch 4 teilbar, so lässt sich ein derartiges Polynom $p$ als $p(X) = X^{2k}\cdot q\!\left(X-\frac1X\right)$ mit einem eindeutig bestimmten Polynom $q$ vom Grad $2k=n/2$ schreiben. Die Nullstellen von $p$ sind also die Lösungen $x$ der Gleichungen $x - \frac1x = z$ für die Nullstellen $z$ von $q$.

Literatur

• Meyers großer Rechenduden, Bibliographisches Institut, Mannheim, 1961.
• Helmut Meyn, Werner Götz: Self-reciprocal Polynomials Over Finite Fields, [1]