Riemannsche Fläche

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Riemannsche Fläche des komplexen Logarithmus. Die Blätter entstehen aufgrund der Mehrdeutigkeit, d. h. weil die komplexe Exponentialfunktion nicht injektiv ist.

Eine riemannsche Fläche (nach Bernhard Riemann) ist im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie (engl. complex analysis) eine eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit. Riemannsche Flächen sind damit die einfachsten geometrischen Objekte, die lokal die Struktur der komplexen Zahlen besitzen.

Eine riemannsche Fläche ist eine zusammenhängende 1-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit. Die Untersuchung von riemannschen Flächen fällt in das mathematische Gebiet der Funktionentheorie und hängt wesentlich von Methoden der algebraischen Topologie und algebraischen Geometrie ab.

Die riemannsche Fläche ist – historisch gesehen – die Antwort darauf, dass holomorphe Funktionen nicht immer eindeutige Fortsetzungen haben. So erhält z. B. der Hauptzweig des komplexen Logarithmus (der ja in einer Umgebung von z = 1 definiert ist) bei Fortsetzung entlang eines positiv orientierten Kreises um 0 das zusätzliche Argument 2πi.

[Bearbeiten] Beispiele

• Jedes Gebiet .

• Die riemannsche Zahlenkugel . Sie wird mitunter auch als komplex-projektive Gerade bezeichnet.

• Die „Torusfläche“ für ein Gitter Γ, auf der die elliptischen Funktionen erklärt werden. Siehe auch Jacobi-Varietät.

Bernhard Riemann erklärte die nach ihm benannten Flächen wie folgt: Mehrere (eventuell unendlich viele) komplexe Zahlenebenen werden übereinandergelegt, mit bestimmten (z. B. geradlinigen) Schnitten versehen und dann längs dieser Schnitte zusammengeklebt. Diese anschauliche Vorstellung war zunächst sehr fruchtbar, obwohl sie als unexakt kritisiert wurde. Die heutige oben genannte Definition stammt von Hermann Weyl. In seinem Buch Die Idee der Riemannschen Fläche (1913) definierte er den heute grundlegenden Begriff der (reellen bzw. komplexen) Mannigfaltigkeit (der auch oben benutzt wurde). Siehe auch: Riemannscher Abbildungssatz

[Bearbeiten] Literatur

• Otto Forster: Riemannsche Flächen. Springer, 1977, englisch Lectures on Riemann surfaces. Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1991, ISBN 3-540-90617-7.