Riemannsche Normalkoordinaten

Riemannsche Normalkoordinaten (nach Bernhard Riemann; auch Normalkoordinaten oder Exponentialkoordinaten) bilden ein besonderes Koordinatensystem, welches in der Differentialgeometrie betrachtet wird. Hier wird der Tangentialraum an $p$ als lokale Karte der Mannigfaltigkeit in einer Umgebung von $p$ verwendet. Solche Koordinaten sind einfach zu handhaben und finden daher auch Anwendung in der allgemeinen Relativitätstheorie.

Definition

Sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem Zusammenhang $\nabla$ und $\gamma$ sei eine beliebige Kurve, welche die Geodätengleichung $\nabla_{\dot \gamma(t)} \dot \gamma(t) = 0$ erfüllt. Mit $T_pM$ werde der Tangentialraum am Punkt $p \in M$ bezeichnet und für $\mathcal{E}_p \subset T_pM$ werde mit

$\exp_p : \mathcal{E}_p \to M, \quad V \mapsto \exp_p(V) := \gamma_V(1)$

die Exponentialabbildung bezeichnet. Durch eine Wahl einer Orthonormalbasis $(E_i)_i$ von $T_pM$ erhält man einen Isomorphismus

$E : \R^n \to T_pM,$

welcher durch $\textstyle E(x^1,\ldots , x^n) = \sum_i x^iE_i$ definiert ist. Sei weiter $U \subset M$ eine offene Umgebung von $p$, auf welcher die Exponentialabbildung ein Isomorphismus ist und, für welche $0 \in \exp_p^{-1}(U) \subset T_pM$ gilt. Dann erhält man eine Abbildung

$\phi : U \to \R^n, \quad \phi := U \ni q \mapsto E^{-1} \circ \exp_p^{-1}(q).$

Da $E$ und $\exp_p$ auf den entsprechenden Definitionsbereichen Isomorphismen (Diffeomorphismen) sind, ist auch $\phi$ ebenfalls diffeomorph und kann somit als Kartenabbildung angesehen werden. Die lokalen Koordinaten, welche man durch diese Karten erhält, heißen riemannsche Normalkoordinaten.

Eigenschaften

Sei $(M,g)$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und seien $(U,(x^i)^i)$ um $p \in M$ zentrierte riemannsche Normalkoordinaten, dann gilt:

• Für alle $V := \sum_i V^i \partial_i \in T_pM$ hat die Geodäte $\gamma_V$, welche in $p$ mit dem Geschwindigkeitsvektor $V$ beginnt, in riemannschen Normalkoordinaten die Darstellung
  $\gamma_V(t) = (tV^1, \ldots , tV^n)$
  solange $\gamma_V$ in $U$ bleibt.
• Die Koordinaten von $p$ sind $(0, \ldots, 0)$.
• Die Komponenten der riemannschen Metrik in $p$ sind $g_{ij} = \delta_{ij}$.
• Die Christoffelsymbole in $p$ sind null.
• Ist $\nabla$ der Levi-Civita-Zusammenhang (oder ein anderer metrischer Zusammenhang), dann gilt $\partial_{x_k}(g_{ij})|_p = 0.$

Physikalische Sicht

Physikalisch betrachtet beschreiben Normalkoordinaten im Raumzeitpunkt $p$ das Ruhesystem eines frei fallenden Beobachters im Punkt $p$. Dieser Punkt wird als Ursprung des Koordinatensystems festgelegt. Normalkoordinaten eignen sich zur Beschreibung des Äquivalenzprinzips der allgemeinen Relativitätstheorie. In Normalkoordinaten sind alle Geodäten durch den Ursprung Geraden in der vierdimensionalen Raumzeit. Damit wird verständlich, was die Äquivalenz frei fallender Beobachter mit Beobachtern in Inertialsystemen bedeutet. Da nur die Geodäten durch einen einzigen Raumzeitpunkt Geraden sind, ist das Äquivalenzprinzip nur in einem einzelnen Raumzeitpunkt genau gültig. Die krummen Geodäten, die nicht durch den Ursprung laufen, werden vom Beobachter durch Gezeitenkräfte erklärt.

In Normalkoordinaten lässt sich der metrische Tensor in einem Punkt $q$ als Reihenentwicklung in den Koordinaten dieses Punktes angeben:

$g_{\mu\nu}(q) = \eta_{\mu\nu} - \frac{1}{3} R_{\mu\lambda\nu\rho} q^{\lambda} q^{\rho} + ...$

dabei sind $q^{\rho}$ die Komponenten von $q$ in Normalkoordinaten, $\eta_{\mu\nu}$ die Komponenten der Minkowski-Metrik und $R_{\mu\lambda\nu\rho}$ die Komponenten des riemannschen Krümmungstensors. Es wird die einsteinsche Summenkonvention verwendet. Mit zunehmendem Abstand des Punktes $q$ vom Koordinatenursprung $p$ weicht der metrische Tensor immer mehr von der flachen Minkowski-Metrik ab. Dies führt zu Gezeitenkräften, die direkt vom Krümmungstensor abhängen.

Literatur

• John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Springer, New York 1997, ISBN 0387983228.