Riemannsche Xi-Funktion

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Die Riemannsche \xi-Funktion in der komplexen Zahlenebene.

In der Mathematik ist die riemannsche Xi-Funktion eine Transformierte der riemannschen Zeta-Funktion. Ihre Nullstellen entsprechen dabei ausschließlich den nichttrivialen Nullstellen der Zeta-Funktion, und im Gegensatz zu dieser ist die Xi-Funktion holomorph auf der ganzen komplexen Ebene. Zudem genügt sie einer besonders einfachen Funktionalgleichung. Bernhard Riemann führte sie 1859 in derselben Arbeit über die Primzahlverteilung ein, in der er auch die später nach ihm benannte riemannsche Vermutung formulierte.

Definition[Bearbeiten]

Die riemannsche Xi-Funktion \xi („klein xi“) ist definiert als


\xi(s) = \frac{1}{2} s(s-1) \pi^{-s/2} \ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \zeta(s),

wo \zeta die riemannsche \zeta-Funktion und \Gamma die Gamma-Funktion bezeichnet. Der Produktterm auf der rechten Seite vor der riemannschen \zeta-Funktion eliminiert genau alle negativen Nullstellen und die Singularität der Zeta-Funktion an der Stelle  s = 1 . Die einzigen Nullstellen von \xi sind daher genau die nichttrivialen Nullstellen der \zeta-Funktion.

Eine Variante der Xi-Funktion wird üblicherweise mit \Xi („groß Xi“) bezeichnet und geht aus \xi durch die Variablentransformation \textstyle s \mapsto t = \frac{i}{2} - is (also  s = {\textstyle \frac12 + it}) hervor:


\Xi(t) = \xi({\textstyle\frac12 + i t}) = - \frac{t^2 + \frac14}{2\sqrt\pi^{1/2+it}}\ \Gamma\left({\textstyle \frac14 + \frac{it}{2}}\right) \zeta({\textstyle \frac12 + it}).

Die riemannsche Vermutung ist äquivalent zu der Aussage, dass alle Nullstellen von \Xi reell sind.

Bemerkenswerterweise verwendete Riemann selber den Buchstaben \xi zur Bezeichnung derjenigen Funktion, die man heute (nach Landau) mit \Xi bezeichnet; die Ursache für diese zunächst verwirrende Symbolik liegt in einem offenbaren Fehler Riemanns[1], der aber keinerlei Auswirkungen auf die Aussagen seines Artikels hat.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Spezielle Werte[Bearbeiten]

Es gilt:

\xi(0) = \xi(1) = - \zeta(0) = \frac12
\xi(1/2) = -\zeta(1/2) \cdot \frac{\Gamma(1/4)}{8\pi^\frac14} = 0,4971207781... (Minimum im reellwertigen Definitionsbereich, Folge A114720 in OEIS)
\xi(3) = \frac{3}{2\pi} \, \zeta(3)
\xi(5) = \frac{15}{2\pi^2} \, \zeta(5).

Für gerade natürliche Zahlen gilt:

\xi(2n) = (-1)^{n+1}{{B_{2n}2^{2n-1}\pi^{n}(2n^2-n)(n-1)!} \over {(2n)!}} \qquad (n = 1,2,3,4, ...)

wobei B_{2n} die  2n -te Bernoulli-Zahl bezeichnet. Aus dieser Darstellung ergeben sich unter anderem die Werte:

\xi(2) = \frac{\zeta(2)}{\pi} = \frac{\pi}{6}
\xi(4) = \frac{6}{\pi^2} \, \zeta(4) = \frac{\pi^2}{15}.

Funktionalgleichung[Bearbeiten]

Die Xi-Funktion genügt der Funktionalgleichung („Reflexionsformel“)

\xi(1-s)=\xi(s)

oder äquivalent dazu für die \Xi-Funktion:

\Xi(-t)=\Xi(t)

\Xi ist damit eine gerade Funktion.

Produktdarstellung[Bearbeiten]

\xi(s) = \frac{1}{2} \prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right)

wobei \rho in der Produktformel über alle Nullstellen von \xi läuft.[2]

Beziehung zur Riemann-Siegel'schen Z-Funktion[Bearbeiten]

Es gilt[3]

Z(t) = -\frac{2 \pi^{1/4}}{(t^2 + \frac14)\,|\Gamma(\frac14 + \frac12 it)|}\ \Xi(t).

Asymptotisches Verhalten[Bearbeiten]

Für reelle Werte von s gilt[4]

 \textstyle \ln \xi(s) = \Theta(\frac12 s \ln s) \qquad (s \in \mathbb{R}, s\to\infty)

also

 \xi(s) = \Theta( \sqrt{s}^{\,s})

(wobei \Theta das Landau-Symbol bezeichnet). Entsprechend gilt für reelle Werte von t[5]

 \textstyle \Xi(t) = \xi(\frac12 + it) = O(t^{1/4} e^{-\pi t / 4}) \qquad (t \in \mathbb{R}, t\to\infty)

Li-Koeffizienten[Bearbeiten]

Die Xi-Funktion \xi hat eine enge Beziehung zu den so-genannten Li-Koeffizienten

\lambda_{n} = \sum_\rho \left[ 1 - \left(1-\frac{1}{\rho}\right)^n\right],

denn es gelten die Beziehungen[6]

\lambda_{n} = \frac{1}{(n-1)!}\ \left.\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}s^n}\ [s^{n-1} \ln \xi(s)]\right|_{s=1}
\qquad (n \geqq 1)

und

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \ln \xi \left(\frac{z}{z-1}\right) 
= \sum_{n=0}^\infty \lambda_{n+1} z^n.

Das lische Kriterium ist die Eigenschaft \lambda_n >0 für alle positiven n. Es ist äquivalent zu der riemannschen Vermutung.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Edwards (2001), Fußnote §1.16 (S. 31)
  2. Edwards (2001) §2.1 (S. 39)
  3. Titchmarsh (1986) §4.17 (S. 89)
  4. Titchmarsh (1986) §2.12 (S. 29)
  5. Titchmarsh (1986) §5.1 (S. 96) & §10.2 (S. 257)
  6. Lagarias (2004)