Riesz-Mittel

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Das Riesz-Mittel ist eine bestimmte Mittelwert-Bildung für Werte in eine Reihe in der Mathematik. Sie wurden von Marcel Riesz 1911 als Verbesserung zum Cesàro-Mittel eingeführt.[1][2] Das Riesz-Mittel sollte nicht mit dem Bochner-Riesz-Mittel oder dem Strong-Riesz-Mittel verwechselt werden.

Definition[Bearbeiten]

Gegeben sei eine Reihe \{s_n\}. Das Riesz-Mittel der Reihe ist definiert durch

s^\delta(\lambda) = 
\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta s_n

Manchmal wird ein verallgemeinertes Riesz-Mittel definiert als

R_n = \frac{1}{\lambda_n} \sum_{k=0}^n (\lambda_k-\lambda_{k-1})^\delta s_k

Dabei sind die \lambda_n eine Folge mit \lambda_n\to\infty und mit \lambda_{n+1}/\lambda_n\to 1, wenn n\to\infty. Die anderen \lambda_n sind beliebig.

Das Riesz-Mittel wird oft verwendet, um die Summierbarkeit von Folgen zu untersuchen. Üblicherweise untersuchen Sätze zur Summierbarkeit der s_n = \sum_{k=0}^n a_n für Folgen \{a_n\}. Normalerweise ist eine Folge summierbar, wenn der Grenzwert \lim_{n\to\infty} R_n vorhanden ist oder der Grenzwert \lim_{\delta\to 1,\lambda\to\infty}s^\delta(\lambda) existiert, obgleich die exakten Sätze zur Summierbarkeit oft noch zusätzliche Bedingungen voraussetzen.

Spezialfälle[Bearbeiten]

Sei a_n=1 für alle n. Dann gilt

 
\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta
= \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} 
\frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \zeta(s) \lambda^s \, ds
= \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_n b_n \lambda^{-n}.

Dabei muss c>1 sein, \Gamma(s) ist die Gammafunktion und \zeta(s) ist die Riemannsche Zeta-Funktion. Es kann gezeigt werden, dass die Potenzreihe

\sum_n b_n \lambda^{-n}

für \lambda > 1 konvergent ist. Es ist anzumerken, dass das Integral von der Form einer inversen Mellin-Transformation ist.

Ein anderer interessanter Fall, der mit der Zahlentheorie verknüpft ist, entsteht durch Setzen von a_n=\Lambda(n), wobei \Lambda(n) die Mangoldt-Funktion ist. Dann ist

 
\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta \Lambda(n)
= - \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} 
\frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} 
\frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} \lambda^s \, ds
= \frac{\lambda}{1+\delta} + 
\sum_\rho \frac {\Gamma(1+\delta)\Gamma(\rho)}{\Gamma(1+\delta+\rho)}
+\sum_n c_n \lambda^{-n}.

Erneut muss c > 1 sein. Die Summe über ρ ist die Summe über die Nullen der Riemannschen Zeta-Funktion und

\sum_n c_n \lambda^{-n} \,

ist konvergent für ρ > 1.

Die Integrale, die hierbei auftreten ähneln dem Nörlund-Rice-Integral. Sie hängen über Perron's-Formel zusammen.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  1. M. Riesz: Comptes Rendus, 12. Juni 1911 (englisch)
  2. G.H. Hardy and J.E. Littlewood: Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes, Acta Mathematica, 41 (1916) pp.119–196. (englisch)