Riesz-Raum

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Ein Riesz-Raum ist ein Vektorraum mit einer Verbandsstruktur, die so beschaffen ist, dass sich die lineare und die Verbandsstruktur vertragen. Im Jahr 1928 wurde dieser Raum von Frigyes Riesz definiert[1] und trägt deshalb heute seinen Namen.

Definition[Bearbeiten]

Sei (X, +, \cdot) ein \R-Vektorraum und (X,\leq) eine teilweise geordnete Menge.

Dann heißt (X,+,\cdot,\leq) ein Riesz-Raum wenn folgende Axiome erfüllt sind:

  1. Für alle f,g,h\in X gilt: f\leq g \Rightarrow f+h\leq g+h .
  2. Für alle f,g\in X gilt: 0\leq a\in \R und f\leq g \Rightarrow a\cdot f\leq a\cdot g.
  3. (X,\leq) ist ein Verband.

Anmerkungen[Bearbeiten]

  • 1. und 2. bedeuten (X,+,\cdot,\leq) ist ein geordneter Vektorraum.
  • Bei der Formulierung von 2. ist zu beachten, dass \leq sich sowohl auf \R, als auch auf X bezieht, aus dem Zusammenhang ist meistens klar, welche Ordnungsrelation gemeint ist, so dass üblicherweise auf zusätzliche Indizes verzichtet wird.
  • 2. lässt sich auch durch die schwächere Forderung 0\leq a und \mathbf{0}\leq f \Rightarrow \mathbf{0} \leq a\cdot f ersetzen.
  • Bezeichnen \land, \lor die Verbandsoperationen, so ist es Konvention, dass \land, \lor stärker binden, als +, \cdot (Klammerregel).

Erste Eigenschaften[Bearbeiten]

Für f,g,h\in X und 0\leq a\in \R gelten folgende Rechenregeln:

  • (f+h)\lor(g+h)=(f\lor g) +h und (f+h)\land(g+h)=(f\land g) +h
  • (af)\lor (ag)=a(f\lor g) und (af)\land (ag)=a(f\land g)
  • (-f)\lor (-g)=-(f\land g) und (-f)\land (-g)=-(f\lor g)
  • Sei |f|:=f\lor(-f) für f\in X.
Dann gilt f\lor g=\tfrac{1}{2} (f+g+|f-g|) und f\land g=\tfrac{1}{2} (f+g-|f-g|).
  • (f\lor g)+(f\land g)=f+g und (f\lor g)-(f\land g)=|f-g|
  • (f\lor g)\land h = (f\land h) \lor (g \land h) und (f\land g)\lor h = (f\lor h) \land (g \lor h)
Dies bedeutet jeder Riesz-Raum ist ein distributiver Verband.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die reellen Zahlen \R mit der üblichen Anordnung \leq bilden einen Riesz-Raum.
  • Der \R^n mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
  • Die Menge der reellen Zahlenfolgen \R^\N mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
  • Die Menge der reellen Nullfolgen c_0 mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
  • Für 1\leq p \le \infty ist l_p mit komponentenweiser Anordnung ein Riesz-Raum.
  • Die Menge der beschränkten reellen Folgen l_\infty mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
  • Die Menge der stetigen Funktionen \mathcal{C}[a,b] auf einem Intervall [a,b] bildet mit punktweiser Anordnung einen Riesz-Raum.
  • Die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen \mathcal{C}^1[a,b] auf einem Intervall [a,b] bildet einen geordneten Vektorraum mit der punktweisen Anordnung, aber keinen Riesz-Raum.

Integrationstheorie[Bearbeiten]

Riesz-Räume bieten Voraussetzungen für eine abstrakte Maß- und Integrationstheorie. Die zentrale Aussage in diesem Zusammenhang ist der Spektralsatz von Freudenthal. Dieser Satz garantiert für Riesz-Räume auf abstrakte Weise die Approximationseigenschaft von Funktionen durch Treppenfunktionen. Der Satz von Radon-Nikodym und die Poissonsche Summenformel für beschränkte harmonische Funktionen auf der offenen Kreisscheibe sind Spezialfälle des Spektralsatzes von Freudenthal. Dieser Spektralsatz war einer der Ausgangspunkte für die Theorie der Riesz-Räume.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. * Riesz, Frigyes: Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires, Atti congress. internaz. mathematici (Bologna, 1928) , 3 , Zanichelli (1930) pp. 143–148

Literatur[Bearbeiten]