Ring (Algebra)

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Ein Ring ist eine algebraische Struktur, in der, ähnlich wie in den ganzen Zahlen \mathbb{Z}, Addition und Multiplikation definiert und miteinander bezüglich Klammersetzung verträglich sind. Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der Algebra, das sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt.

Namensgebung[Bearbeiten]

Der Name Ring bezieht sich nicht auf etwas anschaulich Ringförmiges, sondern auf einen organisierten Zusammenschluss von Elementen zu einem Ganzen. Diese Wortbedeutung ist in der deutschen Sprache ansonsten weitgehend verloren gegangen. Einige ältere Vereinsbezeichnungen (wie z. B. Deutscher Ring, Weißer Ring, Maschinenring) oder Ausdrücke wie „Verbrecherring“ weisen noch auf diese Bedeutung hin. Das Konzept des Ringes geht auf Richard Dedekind zurück; die Bezeichnung Ring wurde allerdings von David Hilbert eingeführt.[1][2] In speziellen Situationen ist neben der Bezeichnung Ring auch die Bezeichnung Bereich geläufig. So findet man in der Literatur eher den Begriff Integritätsbereich statt Integritätsring.

Definitionen[Bearbeiten]

Je nach Teilgebiet und Lehrbuch (und zum Teil je nach Kapitel) wird unter einem Ring etwas unterschiedliches verstanden. Ebenfalls leicht abweichend sind dann die Definitionen von Morphismen sowie Unter- und Oberstrukturen. Mathematisch ausgedrückt handelt es sich bei diesen unterschiedlichen Ringbegriffen um unterschiedliche Kategorien.

Ring[Bearbeiten]

Ein Ring (R, +, \cdot) ist eine Menge R mit zwei zweistelligen Operationen + und \cdot, sodass

 a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c und (a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c für alle a, b, c \in R erfüllt sind.

Das neutrale Element 0 von \left(R,+\right) heißt Nullelement des Rings R.

Ein Ring heißt kommutativ, falls er bezüglich der Multiplikation kommutativ ist, ansonsten spricht man von einem nicht-kommutativen Ring.

Ring mit Eins (unitärer Ring)[Bearbeiten]

Hat die Halbgruppe (R,\cdot) zusätzlich ein neutrales Element 1, ist also ein Monoid, dann nennt man (R, +, \cdot) einen Ring mit Eins oder unitären Ring. Manche Autoren verstehen unter einem Ring grundsätzlich einen Ring mit Eins.

Kommutativer Ring mit Eins[Bearbeiten]

In der kommutativen Algebra werden Ringe als kommutative Ringe mit Eins definiert.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die ganzen Zahlen \Z und die Polynomringe K[X] über einem Körper sind kommutative Ringe mit Eins.
  • Der Nullring, der nur aus einem Element besteht, ist ebenfalls ein kommutativer Ring mit Eins (1 = 0).
  • Der Ring der geraden Zahlen 2\Z ist ein kommutativer Ring ohne Eins.
  • Der Matrizenring K^{n\times n} ist für n>1 ein nicht-kommutativer Ring mit Eins (der Einheitsmatrix).

Homomorphismus[Bearbeiten]

Ringhomomorphismus[Bearbeiten]

Hauptartikel: Ringhomomorphismus

Für zwei Ringe R und S heißt eine Abbildung

\varphi\colon R \to S

Ringhomomorphismus (kurz Homomorphismus), falls für alle x, y \in R gilt:

\operatorname\varphi(x+y)=\operatorname\varphi(x)+\operatorname\varphi(y) und
\operatorname\varphi(x\cdot y)=\operatorname\varphi(x)\cdot\operatorname\varphi(y).

Der Kern \operatorname{ker} \operatorname\varphi := \lbrace x\in R\mid\operatorname\varphi(x) = 0\rbrace eines Ringhomomorphismus ist ein zweiseitiges Ideal in R.

Ein Morphismus von Ringen mit Eins muss außerdem noch die Bedingung erfüllen, dass das Einselement auf das Einselement abgebildet wird:

\operatorname\varphi(1)=1

Isomorphismus[Bearbeiten]

Hauptartikel: Isomorphismus

Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus. Die Ringe R und S heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von R nach S gibt. Die Ringe haben dann dieselbe Struktur.

Beispiel[Bearbeiten]

Die Abbildung

\varphi\colon\, \Z\to \Z\oplus\Z
\operatorname\varphi(z)\mapsto (z,0)

ist ein Homomorphismus von Ringen, aber kein Homomorphismus von Ringen mit Eins.

Unter- und Oberstrukturen[Bearbeiten]

Unter- und Oberring[Bearbeiten]

Eine Untermenge U eines Ringes R heißt Unterring von R, wenn U zusammen mit den beiden auf U eingeschränkten Verknüpfungen von R wieder ein Ring ist. U ist genau dann ein Unterring von R, wenn U eine Untergruppe bezüglich der Addition ist und U abgeschlossen bzgl. der Multiplikation ist, d. h.

x \cdot y \in U, wenn x \in U und y \in U.

Auch wenn R ein Ring mit Eins ist, so muss die Eins nicht notwendigerweise in U enthalten sein. U kann auch ein Ring ohne Eins sein – etwa 2\Z\subseteq\Z – oder eine andere Eins haben. Für Ringe mit Eins wird von einem Unterring verlangt, dass er ebenfalls das Einselement enthält (dafür ist es zwar notwendig, aber nicht immer hinreichend, dass der Unterring ein auf diesen bezogen multiplikativ neutrales Element enthält).

Der Durchschnitt von Unterringen ist wieder ein Unterring, und der von A\subseteq R erzeugte Unterring wird definiert als der Durchschnitt aller A umfassenden Unterringe von R.

Ein Ring S heißt Oberring oder Erweiterung eines Ringes R, wenn R ein Unterring von S ist.

Ideal[Bearbeiten]

Hauptartikel: Ideal (Ringtheorie)

Zu einem Ring R heißt eine Teilmenge I von R Linksideal (bzw. Rechtsideal), wenn gilt:

  • I ist eine Untergruppe von (R, +).
  • Für alle a \in I und x \in R ist ebenfalls x \cdot a \in I (bzw. a \cdot x \in I).

Ist I sowohl Links- als auch Rechtsideal, so heißt I zweiseitiges Ideal oder auch nur Ideal.

Enthält in einem Ring mit Eins ein (Links-, Rechts-)Ideal die Eins, so umfasst es ganz R. Da R auch ein Ideal ist, ist R das einzige (Links-, Rechts-)Ideal, das die Eins enthält. R und \lbrace 0 \rbrace sind die sogenannten trivialen Ideale.

Faktorring[Bearbeiten]

Hauptartikel: Faktorring

Ist I ein Ideal in einem Ring R, dann kann man die Menge der Nebenklassen

R/I:=\{x+I\mid x\in R\}

bilden. Die Verknüpfung + lässt sich wegen ihrer Kommutativität immer auf R/I fortsetzen; die Verknüpfung \cdot jedoch nur, wenn I ein zweiseitiges Ideal in R ist. Ist dies der Fall, dann ist R/I mit den induzierten Verknüpfungen ein Ring. Er wird Faktorring R/I genannt – gesprochen: R modulo I.

Der Ringhomomorphismus

\varphi\colon R \to R/I,

der einem Element x seine Nebenklasse x+I zuordnet, hat I zum Kern.

Grundring[Bearbeiten]

In einem Ring mit Eins wird der von 1 erzeugte Unterring als der Grundring bezeichnet. Aus der Mächtigkeit des Grundringes ergibt sich die Charakteristik des Ringes.

Spezielle Elemente in einem Ring[Bearbeiten]

Teiler und Nullteiler[Bearbeiten]

Hauptartikel: Teilbarkeit

Von zwei Elementen a,b \in R heißt a linker Teiler (Linksteiler) von b , falls ein x \in R mit  b = a \cdot x existiert. Dann ist auch b rechtes Vielfaches von a. Entsprechend definiert man rechten Teiler (Rechtsteiler) und linkes Vielfaches.

In kommutativen Ringen ist ein linker Teiler auch ein rechter und umgekehrt. Man schreibt hier auch a \mid b, falls a ein Teiler von b ist.

Alle Elemente von R sind (Rechts- bzw. Links-) Teiler der Null. Der Begriff des (Rechts- bzw. Links-) Nullteilers hat eine andere Definition. Wenn 0 nach dieser als Nullteiler zählt, gilt der Satz: Ein Element ist genau dann (Rechts- bzw. Links-) Nullteiler, wenn es nicht (rechts- bzw. links-) kürzbar ist.

Invertierbarkeit, Einheit[Bearbeiten]

Hauptartikel: Einheit (Mathematik)

Existiert in einem Ring R mit Eins zu einem Element u ein Element x, so dass xu = 1 (bzw. ux = 1) gilt, so nennt man x ein Linksinverses (bzw. Rechtsinverses) von u. Besitzt u sowohl Links- als auch Rechtsinverses, so nennt man u invertierbar oder Einheit des Ringes. Die Menge der Einheiten eines Ringes R mit Eins wird gewöhnlich mit R^* oder R^\times bezeichnet. R^* bildet bezüglich der Ringmultiplikation eine Gruppe – die Einheitengruppe des Ringes. Ist R^*=R\backslash\left\{0\right\}, so ist R ein Schiefkörper, ist R darüber hinaus kommutativ, so ist R ein Körper.

In kommutativen Ringen mit Eins (insbesondere Integritätsringen) definiert man alternativ die Einheiten auch als diejenigen Elemente, die die Eins teilen. Dass u die Eins teilt, heißt nämlich dass es x gibt mit xu = ux = 1.

Assoziierte Elemente[Bearbeiten]

Hauptartikel: Assoziierte Elemente

Zwei Elemente a und b sind genau dann rechts assoziiert, wenn es eine Rechtseinheit u gibt, sodass au=b. Links assoziiert bei ua=b mit einer Linkseinheit u.

Wenn in einem kommutativen Ring mit Eins die Elemente a, b in der Beziehung a \mid b und b \mid a stehen, dann sind a und b zueinander assoziiert. Die Seitigkeit (links, rechts) kann also weggelassen werden.

Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation.

Irreduzibilität[Bearbeiten]

Ein Element q, das weder Linkseinheit noch Rechtseinheit ist, heißt irreduzibel, falls es keine Nicht-Linkseinheit a und keine Nicht-Rechtseinheit b mit q=ab gibt, wenn also aus der Gleichung folgt, dass a Linkseinheit oder b Rechtseinheit ist.

Im kommutativen Ring genügt es zu fordern, dass aus q=ab stets a \in R^* oder b \in R^* folgt.

Primelement[Bearbeiten]

Ist p weder Linkseinheit noch Rechtseinheit, dann heißt p prim (oder Primelement), falls für alle  a,b,w,x mit  p = ab und wpx \ne a folgt, dass es  y,z gibt mit ypz = b.

Im kommutativen Ring genügt es zu fordern: Ist p \, eine Nichteinheit ungleich 0, dann heißt p \, prim (oder Primelement), falls gilt: Aus  p \mid ab folgt p \mid a oder p \mid b (s. auch Hauptartikel: Primelement).

In einem nullteilerfreien Ring ist jedes Primelement irreduzibel.

Weitere Beispiele[Bearbeiten]

Die rationalen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation bilden einen Ring. Da in diesem Fall nicht nur (\Bbb Q,+), sondern auch (\Bbb Q\setminus \{0\},\cdot) eine abelsche Gruppe bildet, liegt sogar ein Körper vor; es handelt sich dabei um den Quotientenkörper des Integritätsringes (\Z,+,\cdot).

Kein Ring ist die Menge (\N,+,\cdot) der natürlichen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation, da die Addition über den natürlichen Zahlen nicht invertierbar ist.

Weitere wichtige Beispiele von Ringen sind Restklassenringe, Polynomringe und quadratische Matrizen mit fixer Dimension. Insbesondere Restklassenringe und quadratische nxn-Matrizen mit n>1 liefern Beispiele von Ringen, die nicht nullteilerfrei sind.

Spezialfälle[Bearbeiten]

Körper
Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Eins, bei dem (R\setminus\left\{0\right\},\cdot) eine Gruppe ist, also zu jedem von Null verschiedenen Element ein multiplikatives Inverses existiert.
Einfacher Ring
Ein Ring R, der nicht der Nullring ist, wird einfach genannt, wenn die trivialen Ideale R und \{0\} die einzigen zweiseitigen Ideale sind. Ein kommutativer einfacher Ring mit Eins ist ein Körper.
Idempotenter Ring
Ein idempotenter Ring ist ein Ring, in dem zusätzlich das Idempotenzgesetz a\cdot a = a für alle Elemente erfüllt ist. Jeder idempotente Ring ist kommutativ.
Boolescher Ring
Ein Boolescher Ring ist ein idempotenter Ring mit Eins.
Lokaler Ring
Ein lokaler Ring ist ein Ring, in dem es genau ein maximales Linksideal (oder Rechtsideal) gibt. Nicht wenige Autoren verlangen, dass ein lokaler, kommutativer Ring zusätzlich noethersch sein muss und nennen einen nichtnoetherschen Ring mit genau einem maximalen Ideal einen quasi-lokalen Ring. In der Wikipedia lassen wir diese Zusatzforderung weg und sprechen ggf. explizit von noetherschen lokalen Ringen.
Integritätsring
Ein Integritätsring oder Integritätsbereich ist ein nullteilerfreier, kommutativer Ring mit einer Eins, die verschieden ist von der Null. Jeder endliche Integritätsring ist ein Körper.
Faktorieller Ring, ZPE-Ring
Ein faktorieller Ring oder ZPE-Ring ist ein Integritätsring, in dem alle Elemente außer der Null eine im Wesentlichen eindeutige Zerlegung in Primfaktoren besitzen.
Hauptidealring
Ein Hauptidealring ist ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist. Jeder Hauptidealring ist ein ZPE-Ring.
Euklidischer Ring
In einem euklidischen Ring gibt es eine Division mit Rest. Dadurch kann der größte gemeinsame Teiler zweier Elemente mit Hilfe des euklidischen Algorithmus berechnet werden. Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Halbring
Bei einem Halbring ist \left(H,+\right) keine abelsche Gruppe sondern nur eine Halbgruppe, die auch oft (je nach Definition) kommutativ und/oder ein Monoid \left(H,+,0\right) sein soll, für den nicht a\cdot0=0\cdot a=0 für alle a\in R gelten muss (die Definitionen sind nicht einheitlich).
Fastring
Bei einem Fastring wird nur eines der beiden Distributivgesetze gefordert und die Addition muss nicht kommutativ sein.
Alternativring
Bei den alternativen Ringen wird auf die Assoziativität der Multiplikation verzichtet und nur die Alternativität gefordert. Das bekannteste Beispiel sind die Oktonionen, die sogar ein Alternativkörper sind.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (R) (17. Juli 2007)
  2. The development of Ring Theory (17. Juli 2007)