Risikoprämie

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Die Risikoprämie RP(L) zu einer Lotterie L ist ein Begriff aus der Wirtschaftswissenschaft bzw. der Entscheidungstheorie. Sie bezeichnet denjenigen sicheren Abschlag auf den Erwartungswert E[L] einer Lotterie L, bei dem ein Entscheider, der diese Lotterie besitzt, indifferent ist, diese zu behalten oder abzugeben. Am einfachsten kann die Risikoprämie eines Entscheiders über das Sicherheitsäquivalent ermittelt werden. Das Sicherheitsäquivalent einer Lotterie SA(L) ist derjenige sichere Betrag, bei dem der Entscheider, der die Lotterie L besitzt, indifferent ist, diese Lotterie zu behalten oder abzugeben.

Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Risikoprämie und Sicherheitsäquivalent 3.1 Beispiel

[Bearbeiten] Definition

Eine allgemeine Definition, die zugleich für einen risikofreudigen, risikoneutralen und riskoscheuen Entscheidungsträger eine Aussage macht, ist sehr schwierig. Das liegt daran, da das Konzept der Risikoprämie vor allem mit Blick auf einen risikoaversen (=risikoscheuen) Entscheidungsträger entwickelt wurde.

Ein risikoscheuer Entscheidungsträger meidet Risiko. Wenn er vor der Wahl steht, sich zwischen einer sicheren Auszahlung (sicher, da er den Betrag mit einer Wahrscheinlichkeit von 100% erhält) und einer Lotterie (= unsichere Auszahlung, da die Höhe endgültigen Auszahlung vom Zufall abhängt) zu entscheiden, dann wird er sich für die sichere Auszahlung entscheiden. Wichtig ist hierbei, dass die Erwartungswerte beider Möglichkeiten (sichere Auszahlung oder Lotterie) gleich sind. Das bedeutet, dass der Betrag der erwartete Auszahlung der Lotterie gleich dem Betrag der sicheren Auszahlung entspricht. Mit erwarteter Auszahlung ist gemeint, dass der Erwartungswert der Lotterie berechnet wird. Dieser setzt sich zusammen aus den möglichen Auszahlungen und den Wahrscheinlichkeiten für diese Auszahlungen. Bei dem sicheren Betrag entspricht der Erwartungswert gleich dem Betrag selbst, da wir nur eine mögliche Auszahlung haben, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 100%, also mit 1 multipliziert wird.

Um den risikoaversen Entscheidungsträger doch dazu zu bringen, die Lotterie der sicheren Zahlung vorzuziehen, verlangt dieser zunächst eine Extrazahlung. Diese Extrazahlung soll ihn für das Risiko entschädigen, welches er eingeht, wenn er die Lotterie spielt. Er will für das Risiko entschädigt werden, da er risikoscheu ist und daher Risiko vermeiden möchte. Eine Lotterie birgt aber Risiken. Daher verlangt er zunächst die Extrazahlung, bevor er die Lotterie annimmt. Hat der Entscheidungsträger die Extrazahlung erhalten, dann ist es ihm egal, ob er die sichere Zahlung erhält oder aber die Lotterie spielt. Beides hat dann den gleichen Nutzen für ihn. Man nennt diesen Zustand der absoluten Gleichwertigkeit zwischen zwei Alternativen auch häufig Indifferenz. Ein Entscheidungsträger in einer solchen Situation wird auch als indifferent bezeichnet.

Diese Extrazahlung kann auch als eine Art Prämie angesehen werden. Der risikoaverse Entscheider erhält diese, damit er das Risiko der Lotterie eingeht, obwohl er dieses von sich selbst aus nie tun würde. Daher auch der Begriff der Risikoprämie.

Eine Prämie ist in unserem normalen Sprachgebrauch immer eine positive Zahlung ("Wir erhalten etwas"). Die Risikoprämie ist aber nur bei einem risikoaversen Entscheidungsträger positiv. Bei einem risikoneutralen Entscheidungsträger ist diese gleich Null. Bei einem risikofreudigen Entscheidungsträger ist diese negativ. Diese mathematische Unterscheidung macht es schwierig, das Konzept der Risikoprämie in einer allgemeinen verbalen Form zu fassen. Auch schon die mathematische Formulierung der Risikopärmie ist so ausgelegt, dass diese nur bei einem risikoaversen Entscheidungsträger positiv ist.

RP(L) = E(L) − SA(L)

Das liegt daran, dass bei einem risikoaversen Entscheidungsträger der Erwartungswert der Lotterie immer größer ist als der Sicherheitsäquivalent der Lotterie.

[Bearbeiten] Beispiel

Man stelle sich eine Spielshow vor, in der ein Entscheidungsträger sich zwischen zwei Türen entscheiden muss. In der einen Tür befinden sich 1000€, in der anderen 0€. Darüber hinaus besteht aber noch die Möglichkeit, dass der Entscheidungsträger 500€ sicher annehmen darf und sich zwischen den Türen nicht entscheiden muss. Alle drei Optionen (Tür 1, Tür 2 oder 500€ sicher) haben den gleichen erwarteten Wert von 500€. Es besteht also kein Anlass für eine Risikoprämie, um die Wahl der beiden Türen der sicheren Zahlung vorzuziehen.

Ein Entscheidungsträger, dem das Risiko völlig gleichgültig ist, ist indifferent bzgl. der drei möglichen Optionen. Es handelt sich dann um einen risikoneutralen Entscheider. Ein riskoaverser Entscheidungsträger jedoch wird die sicheren 500€ vorziehen und sich nicht zwischen den beiden Türen entscheiden.

Wenn in der Spielshow die meisten Spieler risikoaverse Entscheidungsträger sind, dann wäre das Spiel auf lange Dauer sehr langweilig, da sich die meisten Leute dann für die sicheren 500€ entscheiden werden. Um die risikoaversen Entscheidungsträger dennoch davon zu überzeugen die risikoreichere Option zu wählen (= sich zwischen den beiden Türen zu entscheiden), könnte der Spielleiter eine Risikoprämie einführen und damit einen Anreiz schaffen sich zwischen den Türen zu entscheiden. Der Gewinn hinter der Siegertür könnte auf 2000€ erhöht werden. Damit erhöht sich der erwartete Wert, sich zwischen den beiden Türen zu entscheiden, auf 1000€. Davor war der erwartete Wert nur 500€. Der Erwartungswert für die sichere Zahlung bleibt bei 500€. Es gibt nun also einen Unterschied zwischen dem Erwartungswert der sichere Zahlung und dem Erwartungswert der Unsicheren Zahlung in Höhe von 1000€. Es wurde also eine Risikoprämie in Höhe von 500€ dem Spiel hinzugefügt.

[Bearbeiten] Risikoprämie und Sicherheitsäquivalent

Das Konzept der Risikoprämie ist sehr eng mit dem Konzept des Sicherheitsäquivalent verbunden.

Der Nutzen des Sicherheitsäquivalents U[SA(L)] entspricht somit dem erwarteten Nutzen der Lotterie EU(L).

Folglich gilt für die Risikoprämie: RP(L) = E(L) − SA(L).

Bei einem risikoneutralen Entscheider ist die Risikoprämie immer null, d.h. der Entscheider verlangt keine Kompensation für die Risikotragung.

Bei einem risikoaversen Entscheider ist die Risikoprämie immer positiv, d.h. der Entscheider verlangt eine positive Kompensation bzw. einen positiven Betrag für die Risikotragung.

Bei einem risikofreudigen Entscheider ist die Risikoprämie immer negativ, d.h. der Entscheider ist bereit, einen positiven Betrag für die Risikotragung zu zahlen.

Im Gegensatz zum Risikozuschlag, dessen Zweck der Ausgleich eines erwarteten Verlustes ist, werden mit Hilfe der Risikoprämie risikoscheue Entscheider für die Möglichkeit unerwarteter Verluste kompensiert.

[Bearbeiten] Beispiel

Ein Entscheider mit der Nutzenfunktion besitzt ein sicheres Vermögen von 9 Geldeinheiten [GE] und eine Lotterie die mit einer Wahrscheinlichkeit p=0,5 zu einem (zusätzlichen) Gewinn von 7 GE führt.

Der erwartete Nutzen der Lotterie ist: .

Das Sicherheitsäquivalent der Lotterie für den Entscheider, der über ein sicheres Vermögen von 9 GE verfügt, ist:

Die Risikoprämie des Entscheiders für die Lotterie ist somit: RP(L)=E(L)-SA(L)=12,5-12,25=0,25>0

Folglich ist der Entscheider risikoavers.