Rotationsfläche

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Darstellung einer Rotation einer Sinus-Kurve

Rotationsfläche werden in der Geometrie Flächen genannt, die durch Rotation um die z-Achse einer in der (x,z)-Ebene liegenden (und z. B. durch eine Gleichung der Form z = f(x) definierten) Kurve erzeugt werden.

In Formeln: Sei \alpha(t) = (\alpha_1(t),\alpha_2(t)), t\in\mathbb [a,b] eine reguläre ebene Kurve mit \alpha_1(t)>0 für alle t, dann ist

S_{\alpha} = \left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3 \mid x^2+y^2=\alpha_1(t)^2, z=\alpha_2(t), t\in[a,b]\right\}

die von \alpha erzeugte Rotationsfläche. Man kann zeigen, dass S_{\alpha} eine reguläre Fläche ist.

So können auch die Oberflächen von Rotationskörpern wie z. B. der Zylinder für \alpha(t)=(1,t), die Oberfläche der Kugel für \alpha(t)=(\cos(t),\sin(t)) oder das Rotationsparaboloid für \alpha(t)=(t,t^2) erzeugt werden.

Der Flächeninhalt von S_{\alpha} berechnet sich nach der Formel

A(S_{\alpha})=2\pi\int_a^b \alpha_1(t)\|\alpha'(t)\|_2 \, \mathrm dt.

Rotationsflächen werden zum Beispiel für Kühltürme (Rotationshyperboloide) verwendet.

Rotationsflächen konstanter Gaußscher Krümmung wurden von Gauß und Ferdinand Minding klassifiziert. Rotationsflächen mit verschwindender Gaußscher Krümmung sind die Ebene, der Zylinder und der Kegel. Rotationsflächen mit positiver Gaußscher Krümmung sind die Kugeloberfläche, die Flächen vom Spindeltyp und die Flächen vom Wulsttyp. Rotationsflächen mit negativer Gaußscher Krümmung sind die Pseudosphäre, die auch als Mindingsche Fläche bekannt ist, die Flächen vom Kegeltyp und die Flächen vom Kehltyp. (Die Kugeloberfläche und die Pseudosphäre haben konstante Gaußsche Krümmung.)

Literatur[Bearbeiten]

  • Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, 1976, ISBN 0-13-212589-7
  • Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Band 3), Publish or Perish Press, Berkeley, 1999, ISBN 0-914098-72-1
  • Karl Strubecker: Differentialgeometrie (Band III), Sammlung Göschen, Band 1180, De Gruyter, Berlin, 1959
  • Drehflächen und Regelflächen (PDF-Datei; 777 kB) mit Formeln zur Krümmungsberechnung und Beispielen von Rotationsflächen