Ruhedruck

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Der Ruhedruck (auch Stagnationsdruck oder Totaldruck) ist der sich einstellende Druck einer Gasströmung, wenn die Strömungsgeschwindigkeit isentrop (d. h. wärmeisoliert und reibungsfrei) auf einen vernachlässigbar kleinen Wert verzögert wird. Er ist damit das Pendant zum Gesamtdruck  p_\text {t} einer Hydraulikströmung (Flüssigkeit), welcher nach Bernoulli die Summe aus hydrostatischem und hydrodynamischen Druck darstellt.

Unterstellt man, dass innere Reibung (Reibung der Gasmoleküle untereinander) und äußere Reibung (Reibung des Gases mit der Rohrwandung) vernachlässigbar sind, so bleibt bei konstanter Höhe des Strömungspfades der Ruhedruck über den gesamten Strömungspfad konstant, während der statische Druck in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit ständig variieren kann.

Analog zur Definition des Ruhedruckes existiert zu einer eindimensionalen Gasströmung auch eine entsprechende Ruhetemperatur.

Einordnung und Abgrenzung[Bearbeiten]

Der einfache Ansatz nach Bernoulli über die Druckänderung innerhalb einer Strömung gilt nur für Flüssigkeiten exakt.

Bei einer Gasströmung finden durch die Änderungen des statischen Druckes zusätzliche Dichte- und Temperaturänderungen des Mediums statt, welche sich in der inneren und kinetischen Energie des Mediums bzw. der Strömung niederschlagen und deshalb im Energieansatz berücksichtigt werden müssen. Die Energie- bzw. Leistungsgleichung entlang des Strömungspfades eines reibungsfrei strömenden idealen Gases lautet damit:


  p_{\text {s}} \ q_{\text {v}} + 
q_{\text {m}} \ c_{\text {v}} \ T +
\frac {q_{\text {m}}}2 \ {w^2} + 
q_{\text {m}} \ g \ z
= \text {konst}
\qquad (1)
(erweiterter Bernoulli für ideale Gase)

Hierbei sind:

p_\text {s} = statischer Druck (absolut)
q_{\text {v}} = Volumenstrom (= Volumen pro Zeit)
q_{\text {m}} = Massenstrom (= Masse pro Zeit)
w = Strömungsgeschwindigkeit
c_{\text {v}} = spezifische Wärmekapazität des Gases bei konstantem Volumen
T = Temperatur des Gases (absolut)
g = Erdbeschleunigung
z = geodätische Höhe

bzw. haben die Terme in der Gleichung (1) folgende Bedeutung:

 p_{\text {s}} \ q_{\text {v}} = Leistungsanteil der mechanischen Energie (Produkt Druck x Volumen entspricht dem Produkt Kraft x Weg)
 q_{\text {m}} \ c_{\text {v}} \ T = Leistungsanteil der transportierten bzw. im Gas enthaltenen Wärmemenge
 \frac {q_{\text {m}}}2 \ {w^2} = Leistungsanteil der kinetischen Energie der bewegten Gasmasse
 q_{\text {m}} \ g \ z = Leistungsanteil der potentiellen Lageenergie des Gases


Unter der Annahme, dass der potentielle Energieanteil vernachlässigbar ist (Strömung verläuft horizontal; die Dichte von Gasen ist in der Regel wesentlich geringer als bei Flüssigkeiten), kann der letzte Term der Gleichung (1) entfernt werden und mit den Grundgleichungen 
q_{\text {v}} = q_{\text {m}}/\rho
\,,\ 
\rho=p/({R}^{}{T}^{})
\,,\ 
c_{\text {p}}=R^{}+c_{\text {v}}
\,,\ wie folgt umgeformt werden:


c_{\text {p}} T + \frac {w^2} 2 = \text {konst}
\qquad \text {(2)}
c_{\text {p}} = spezifische Wärmekapazität des Gases bei konstantem Druck

Einfluss der Geschwindigkeit auf Druck und Temperatur einer stationären, wärmeisolierten Gasströmung[Bearbeiten]

Geschwindigkeitsabhängigkeit der Temperatur einer Luftströmung mit T_{\text {t}}= 20{\text {°C}}
Geschwindigkeitsabhängigkeit des Druckes einer Luftströmung mit T_{\text {t}}= 20{\text {°C}}

Gleichung (2) besagt, dass sich bei einem idealen Gas die Temperatur des Gases mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit verringert und umgekehrt, sofern kein Energieaustausch mit der Umgebung stattfindet. Bei Zunahme der Strömungsgeschwindigkeit wird quasi ein Teil der ungerichteten mikroskopischen Molekülgeschwindigkeit (Temperatur) in eine gerichtete makroskopische Geschwindigkeit umgeformt. Ähnlich verhält es sich mit dem Druck. Auch hier verringert sich der statische Druck mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit, da die Molekülgeschwindigkeit (und damit der Impulsaustausch) senkrecht zur Wandung zugunsten der Strömungsgeschwindigkeit verringert wird.

Bei Strömungsgeschwindigkeit 0 sind statischer Druck und Ruhedruck identisch, ebenso statische Temperatur und Ruhetemperatur.

Berechnung des Ruhedruckes[Bearbeiten]

Da der Ruhedruck nur an einer Stelle gemessen werden kann, an dem die Strömungsgeschwindigkeit vernachlässigbar klein ist, muss der zum statischen Druck gehörende Ruhedruck in der Regel berechnet werden. Sind die Stoffdaten eines strömenden idealen Gases und dessen Ruhetemperatur bekannt und sind weiterhin der Massenstrom und der Strömungsquerschnitt, an dem sich ein bestimmter statischer Druck einstellt, bekannt, so lässt sich hieraus der Ruhedruck wie folgt berechnen:

 p_\text {t,x} = p_\text {s,x}
                     \left[
                      \frac 1 2 +
                       \sqrt
                       {
                          \ \frac {\kappa - 1} {2 \kappa} \ R_{\text {i}} \ T_{\text {t}} 
                          \left (\frac {q_{\text {m}}}{A_{\text {x}} \ p_{\text {s,x}}} \right)^2 + \frac 1 4 \ 
                       }
                     \ \right]^\frac \kappa {\kappa - 1}
\qquad (3)

Hierbei sind:

 p_\text {t,x} = Ruhedruck an der Stelle x
p_\text {s,x} = statischer Druck an der Stelle x
T_{\text {t,x}} = Ruhetemperatur an der Stelle x
A_{\text {x}} = Querschnittsfläche des Strömungspfades an der Stelle x
q_{\text {m}} = Massenstrom
R_{\text {i}} = individuelle Gaskonstante
 \kappa = Isentropenexponent (z. B. bei Luft: \kappa = 1{,}4)

Da bei einem idealen Gas die Ruhetemperatur entlang eines wärmeisolierten Strömungspfades konstant bleibt (so auch bei der Druckabsenkung durch Reibung/Drosselung), kann die Ruhetemperatur in der Regel an einer beliebigen Stelle entlang des Strömungspfades, bei welcher die Strömungsgeschwindigkeit vernachlässigbar ist, erfasst werden. Ob die Strömung als wärmeisoliert betrachtet werden kann, hängt neben der Wärmeleitfähigkeit der Umgebung auch davon ab, wie groß die Temperaturunterschiede zwischen der Gasströmung und der Umgebung sind und wie groß das Verhältnis von Oberfläche zu Massenstrom ist. Gleichung (3) unterstellt weiterhin, dass das Strömungsprofil der Gasströmung eine rechteckige Geschwindigkeitsverteilung aufweist. Bei turbulenter Strömung (welche sich bei höheren Geschwindigkeiten einstellt und bei denen es überhaupt erst zu nennenswerten Unterschieden zwischen dem Ruhedruck und dem statischen Druck kommt) ist dies nahezu gegeben. Wird nach dem statischen Druck für einen beliebigen Strömungsquerschnitt gesucht, so müssen numerische Verfahren angewendet werden da sich Gleichung (3) offensichtlich nicht nach dem statischen Druck umstellen lässt.

Ausströmvorgang aus einem Behälter und Diffusor[Bearbeiten]

Beim Ausströmvorgang aus einem Behälter über eine gut gerundete Düse (→ nahezu reibungsfreier Ausströmvorgang mit in der Regel vernachlässigbarem Wärmeübergang) entspricht der zum statischen Druck im Düsenhalsteil korrespondierende Ruhedruck dem Behälterinnendruck.

Über einen Diffusor mit geringem Erweiterungswinkel kann der statische Druck am Diffusoreintritt ebenfalls weitestgehend auf den Ruhedruck zurückgeführt werden, solange die Strömungsgeschwindigkeit am Eintritt des Diffusors unter der zugehörigen Schallgeschwindigkeit liegt.

Anwendung des Ruhedruckes[Bearbeiten]

In der technischen Praxis ist es häufig sinnvoller, mit dem „korrekten“ Ruhedruck zu arbeiten, anstelle mit dem in der Regel einfach und direkt messbaren statischen Druck. Leider wird dies häufig nicht beachtet und führt zu weiteren Fragen und Problemen. Zwei Beispiele aus dem Bereich der Durchflussmessung und Durchflusskennwertebestimmung an pneumatischen Bauteilen sollen diesen Sachverhalt verdeutlichen.

Beispiel 1

Wird an einem strömungsgünstigen Diffusor der Vordruck aufgrund der unterschiedlichen Anschlussquerschnitte mit einem kleineren Druckmessrohr (Rohr, an welchem sich der statische Druck der Strömung rechtwinklig zur Strömungsrichtung abgreifen lässt) und der Hinterdruck mit einem größeren Druckmessrohr gemessen, so tritt das Paradoxon auf, dass der Hinterdruck größer ist als der Vordruck (solange die Schallgeschwindigkeit im Diffusor nicht überschritten wird). Das Medium strömt also vom niedrigeren statischen Druck zum höheren statischen Druck. Betrachtet man die Strömung unter dem Aspekt der Ruhedrücke, so wird der Ruhedruck in Strömungsrichtung niemals zunehmen, sondern bestenfalls nahezu konstant bleiben.

Beispiel 2

Ein gängiger Durchflusskennwert an pneumatischen Komponenten ist der qnN nach VDI 3290. Beim qnN wird der korrelierende Durchfluss zu einem statischen Vor- bzw. Eingangsdruck von 6 bar und einem statischen Ausgangs- bzw. Hinterdruck von 5 bar gemessen. Wird der qnN an einer Ventilinsel (Einheit mit gemeinsamem Versorgungsanschluss und mehreren individuell schaltbaren Einzelventilen) bestimmt, so tritt der Effekt auf, dass der Quotient aus Durchfluss dividiert durch Anzahl geschalteter (identischer) Ventile nicht konstant bleibt (oder sogar abnimmt, wie man vielleicht aufgrund einer internen Begrenzung vermuten könnte), sondern mit jedem weiteren durchgeschalteten Ventil progressiv zunimmt. Ursache dieses Effektes ist, dass der statische Eingangsdruck durch aktives Nachregeln konstant gehalten wird, der unsichtbare Ruhedruck damit aber stetig zunimmt und an den letzten Ventilscheiben zu einem erhöhten Staudruck führt, was in einem vergrößerten Durchfluss resultiert.

Literatur[Bearbeiten]

  • VDMA Einheitsblatt 24 575: Durchflussmessung von Pneumatikbauteilen - Anwendung der ISO 6358:1989 unter Berücksichtigung des Einflusses der Strömungsgeschwindigkeit
  • Zeitschrift für Fluidtechnik O + P, Ausgabe April 2010 - Artikel „Messen in der Fluidtechnik/Durchflussmessung - Besonderheiten in der Pneumatik“, Werner Wunderlich, Erwin Bürk, Wolfgang Gauchel