Runge-Theorie

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In der Funktionentheorie beschäftigt sich die Runge-Theorie mit der Frage, wann auf einem Teilgebiet holomorphe Funktionen durch auf einem größeren Gebiet holomorphe Funktionen approximiert werden können. Sie wurde wesentlich von Carl Runge entwickelt, der 1885 seinen Approximationssatz veröffentlichte.

Runge-Theorie für Kompakta[Bearbeiten]

Für eine Menge P \subset \mathbb{C} sei \mathbb{C}_P[z] die \mathbb{C}-Algebra der rationalen Funktionen, die nur in P Polstellen aufweisen.

Der Runge'sche Approximationssatz für Kompakta besagt nun: Sei K \subset \mathbb{C} ein Kompaktum. Trifft P \subset \mathbb{C} \setminus K jede beschränkte Komponente von \mathbb{C} \setminus K, dann ist jede auf K holomorphe Funktion gleichmäßig durch Funktionen aus \mathbb{C}_P[z] approximierbar.

Als wichtigen Spezialfall erhält man den Kleinen Satz von Runge: Wenn für ein Kompaktum K \subset \mathbb{C} das Komplement zusammenhängend ist, dann ist jede auf K holomorphe Funktion gleichmäßig durch Polynome approximierbar.

Runge-Theorie für Bereiche[Bearbeiten]

Der Satz von Runge über rationale Approximation lautet: Sei \Omega \subseteq \mathbb{C} ein Bereich und P \subset \mathbb{C} \setminus \Omega eine Menge, deren Abschluss \overline{P} in \mathbb{C} jedes Loch von \Omega trifft. Dann liegt die Algebra \mathbb{C}_P[z] dicht in der Algebra der holomorphen Funktionen \mathcal{O}(\Omega). Als Loch wird hierbei eine kompakte Komponente von \mathbb{C} \setminus \Omega bezeichnet.

Zwei Bereiche \Omega \subseteq \Omega' \subseteq \mathbb{C} heißen Runge'sches Paar, wenn jede auf \Omega holomorphe Funktion sich auf Kompakta gleichmäßig durch auf \Omega' holomorphe Funktionen approximieren lässt. Aus obigem Approximationssatz folgt mit Hilfe des Satzes von Behnke-Stein schließlich die Charakterisierung:

\Omega \subseteq \Omega' bilden genau dann ein Runge'sches Paar, wenn \Omega' \setminus \Omega keine kompakten Komponenten hat, also \Omega relativ zu \Omega' keine Löcher aufweist.

Anwendungen[Bearbeiten]

  • Der Satz von Mittag-Leffler lässt sich aus den Runge'schen Sätzen herleiten.
  • Es existieren punktweise konvergente Polynomfolgen, die nicht auf allen Kompakta lokal gleichmäßig konvergieren.
  • Die Einheitskreisscheibe lässt sich holomorph und eigentlich in \mathbb{C}^3 einbetten. (Tatsächlich sogar in \mathbb{C}^2, was aber nicht direkt aus den Runge'schen Sätzen folgt.)
  • Jedes Gebiet von \mathbb{C} ist ein Holomorphiegebiet, d. h. zu jedem Gebiet gibt es eine darauf definierte holomorphe Funktion, die sich nicht holomorph über dieses Gebiet hinaus ausdehnen lässt.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  1. H. Behnke, K. Stein: Entwicklung analytischer Funktionen auf Riemannschen Flächen. Math. Ann. Vol. 120 (1947–1949), S. 430–461
  2. S. N. Mergelyan: Uniform approximation to functions of a complex variable, Amer. Math. Soc. Translation No. 101