Russische Bauernmultiplikation

Die Russische Bauernmultiplikation (auch Ägyptisches Multiplizieren, Abessinische Bauernregel oder Verdopplungs-Halbierungs-Methode genannt) ist ein einfaches Verfahren zur Multiplikation zweier natürlicher Zahlen. Schon im Altertum bekannt, wurde das Verfahren in Deutschland bis ins Mittelalter, in Russland bis weit in die Neuzeit üblich (woher der Name rührt).

Es ist gesichert, dass die Ägypter bereits eine analoge Methode zur Multiplikation verwendeten. Der Algorithmus ist auf dem Papyrus Rhind beschrieben.

Das Verfahren hat den Vorteil, dass man im Prinzip nur halbieren, verdoppeln und addieren können muss, das kleine Einmaleins wird nicht benötigt. Implizit wird eine schriftliche Multiplikation im Binärsystem durchgeführt.

Verfahren

Beschreibung

Das Verfahren besteht aus folgenden Schritten:

1. Man schreibt die beiden zu multiplizierenden Zahlen nebeneinander.
2. Auf der linken Seite werden die Zahlen jeweils halbiert (Reste abgerundet) und die Ergebnisse untereinander geschrieben, bis man zur 1 gelangt.
3. Auf der rechten Seite werden die Zahlen verdoppelt und untereinander geschrieben.
4. Die rechts stehenden (verdoppelten) Zahlen werden gestrichen, wenn die links stehende Zahl gerade ist.
5. Die Summe der nicht gestrichenen rechts stehenden Zahlen ergibt das gesuchte Produkt.

Die Korrektheit der russischen Multiplikation kann durch vollständige Induktion bewiesen werden.

Beispiel

Um 27 mal 82 auszurechnen, muss man folgendermaßen vorgehen:

A-Seite	B-Seite	Dies addieren
27	82	82
13	164	164
6	328	—
3	656	656
1	1312	1312
		Ergebnis: 2214

Erklärung

Man kann die russische Bauernmultiplikation mit dem Dualsystem beweisen. Dabei zerlegt man die eine Zahl in Zweierpotenzen.

$\begin{matrix} 82 \times 27 & = & 82 \times (2^0 + 2^1 + 0\times 2^2 + 2^3 + 2^4)\\ \ & = & 82 \times 2^0 + 82\times 2^1 + 82\times 0 + 82\times 2^3 + 82\times 2^4\\ \ & = & 82 + 164 + 0 + 656 + 1312\\ \ & = & 2214 \end{matrix}$

Die Summanden, welche die Null enthalten, entsprechen jenen Zeilen, die gestrichen werden.

Bemerkungen

Es lassen sich mit diesem Verfahren auch Produkte von rationalen Zahlen berechnen. Auch dies war den Ägyptern bereits bekannt.

Um die Anzahl der Divisionsschritte zu minimieren, bietet es sich an, die Faktoren gegebenenfalls zu vertauschen.

Um die Anzahl der Additionsschritte zu minimieren, bietet es sich an, die Zahlen so zu vertauschen, dass der gerade Faktor halbiert wird.

Analoges Verfahren: Binäre Exponentiation

Dieselbe Idee kann auch benutzt werden, um Potenzen mit großen ganzzahligen Exponenten zu berechnen: Der Exponent wird schrittweise halbiert und die Basis quadriert, am Ende werden die Potenzen mit ungeraden Exponenten aufmultipliziert. Dieses Verfahren heißt binäre Exponentiation.

Quellen

Hans Wußing 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. S.116 Springer Verlag Berlin 2008 ISBN 978-3-540-77189-0

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Russian Multiplication. In: MathWorld. (englisch) und in WolframDemonstrationsProject (engl.)