Rydberg-Konstante

Physikalische Konstante
Name	Rydberg-Konstante
Formelzeichen	$R_\infty$
Wert
SI	$10\,973\,731{,}568\,539\, m^{-1}$
Unsicherheit (rel.)	$5{,}0 \cdot 10^{-12}$
Bezug zu anderen Konstanten
$R_\infty = \frac{\alpha^2 m_e c}{2 h}$ $\alpha$ – Feinstrukturkonstante $m_e$ – Elektronenmasse $c$ – Lichtgeschwindigkeit im Vakuum $h$ – Plancksches Wirkungsquantum
Quellen und Anmerkungen
Quelle SI-Wert: CODATA 2010 (NIST)

Die Rydberg-Konstante $R_\infty$ ist eine nach Johannes Rydberg benannte Naturkonstante in einer Näherungsformel zur Berechnung von Atomspektren, siehe Rydberg-Formel. Der Wert ist die als Wellenzahl ausgedrückte Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms unter Vernachlässigung relativistischer Effekte und der Mitbewegung des Kerns (also unendlicher Kernmasse, daher der Index $\infty$).

Der derzeit (CODATA 2010) empfohlene Wert der Rydberg-Konstanten beträgt

$R_\infty = 10 \, 973 \, 731{,}568 \, 539 \,(55) m^{-1}.$

Die relative Standardunsicherheit beträgt 5,0·10^-12. Damit ist es die am genauesten gemessene Naturkonstante überhaupt.

Zusammenhang mit anderen Naturkonstanten

Die Rydberg-Konstante ergibt sich aus der Feinstrukturkonstante α und der Compton-Wellenlänge λ_C,e eines Elektrons nach

$R_\infty = \frac{\alpha^2}{2} \, \frac{1}{\lambda_{C,e}} = \frac{\alpha^2}{2} \, \frac{m_e c}{h} = \frac{m_e e^4}{8 c \epsilon_0^2 h^3}$

mit

• $m_e$ der Masse des Elektrons
• $c$ der Lichtgeschwindigkeit
• $h$ dem Planckschen Wirkungsquantum
• $e$ der Elementarladung
• $\epsilon_0$ der Dielektrizitätskonstante.

Rydberg-Frequenz und Rydberg-Energie

Die Rydberg-Konstante wird häufig auch als Frequenz oder als Energie angegeben. Die empfohlenen Werte betragen

• Rydberg-Frequenz: $R = c R_\infty = 3{,}289\;841\;960\;364\;\left(17\right) \cdot 10^{15} \ \mathrm{Hz}$
• Rydberg-Energie: $R_y = h R = h c R_\infty = 13{,}605\;692\;53\left(30\right) \ \mathrm{eV} = 1 \mathrm{Ry}.$

Der konkrete Wert der Rydberg-Energie $R_y$ wird ein Rydberg genannt, damit wird das Rydberg als Maßeinheit für Energien verwendbar.

Herleitung

Die Rydberg-Konstante $R_\infty$ lässt sich aus folgenden vier Bedingungen berechnen:

• Die bohrsche Bedingung ist

$2 \pi r = n \lambda ,$

wobei $r$ den Radius des Elektronenorbits bezeichnet.

• Für die Zentripetalkraft gilt

$F_{Z}= \frac{m v^2}{r}.$

• Coulombkraft zwischen Elektron und einfach geladenem Atomrumpf

$F_{C}= -\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r^2 }$

• Die elektrische potentielle Energie des Elektrons beträgt:

$V = -\int_\infty^r F_{C} \, \mathbf{dr} = - \frac {e^2}{ 4 \pi \epsilon_0 r}.$

Mit der Beziehung von de Broglie $\lambda = \frac{h}{p} =\frac{h}{mv}$ erhalten wir aus der Bohrschen Bedingung:

$v = \frac {n h}{2 \pi r m}.$ (1)

Für eine stabile Bahn gilt klassisch

$F_{Z} = - F_{C}$

$\Leftrightarrow \frac{m v^2}{r} = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r^2 }.$ (2)

Einsetzen von (1) liefert den Radius

$r = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0 }{ \pi m e^2}.$ (3)

Unter den gemachten Annahmen sind dies also die einzigen erlaubten Bahnradien.

Außerdem folgt aus (2) für die kinetischen Energie

$T = \frac{mv^2}{2} = \frac{e^2}{8 \pi \epsilon_0 r }$

und für die Gesamtenergie

$\begin{align} E & = T + V\\ & = \frac{e^2}{8 \pi\epsilon_0 r}- \frac {e^2}{ 4 \pi \epsilon_0 r}\\ & = -\frac{e^2}{8 \pi\epsilon_0 r}. \end{align}$

Einsetzen von (3) ergibt

$\begin{align} E & = -\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2}\cdot \frac{1}{n^2} \end{align}$

Jeder Orbit besitzt demnach eine bestimmte potentielle und kinetische Energie, sodass bei einer Änderung des Orbits von n₁ nach n₂ auch eine Energieänderung stattfindet. Diese ist gerade

$\Delta E = \frac{ m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2} \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right)$

oder mit

$\Delta{E} = \frac{hc}{\lambda}$

als Wellenlängenänderung geschrieben:

$\frac{1}{ \lambda} = \frac{ m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c} \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right).$

Die Rydberg-Konstante ist daher gerade

$R_\infty = \frac{ m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c}.$

Dieses Ergebnis wurde erstmals von Niels Bohr als Folgerung seines Atommodells bestimmt.