Rydberg-Formel

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Die Rydberg-Formel in einem Manuskript von Johannes Rydberg

Die Rydberg-Formel (auch Rydberg-Ritz-Formel) wird in der Atomphysik benutzt, um das komplette Spektrum des vom Wasserstoff emittierten Lichtes zu bestimmen. Sie zeigt, dass die Energie des Elektrons im Wasserstoffatom proportional zur Hauptquantenzahl ist.

Die Formel wurde am 5. November 1888 vom schwedischen Physiker Johannes Rydberg vorgestellt; auch Walter Ritz arbeitete an ihr. Später wurde sie erweitert, um das Spektrum anderer Elemente zu bestimmen. Korrekturen aufgrund von Drehimpulsen oder relativistischen Effekten werden nicht berücksichtigt.

Rydberg-Formel für Wasserstoff[Bearbeiten]

\frac{1}{\lambda_{\mathrm{vac}}} = R \left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)

Dabei sind

  • \lambda_{\mathrm{vac}} die Wellenlänge des Lichts im Vakuum
  • R die Rydberg-Konstante für das jeweilige Element: R = \frac{R_{\infty}}{1+ \frac{m_e}{M}} mit
  • n_1 und n_2 ganzzahlige Werte der Hauptquantenzahl (mit n_1 < n_2): n_2 ist die Quantenzahl des Orbits, von dem aus das Elektron in den tiefer gelegenen Orbit n_1 übergeht - also etwa vom dritten Orbit n_2 = 3 in den zweiten n_1 = 2 (siehe Bohrsches Atommodell).

Energie und Spektrallinien-Serien[Bearbeiten]

Für die Energie des emittierten Photons und damit für die entsprechende Energiestufe im Atom gilt (siehe auch Rydberg-Energie):

E = \frac{1}{\lambda_{\mathrm{vac}}} \cdot c \cdot h

mit

Mit n_1 = 1 (Grundzustand) und n_2 \in (2..\infty) erhält man eine Serie von Spektrallinien, die auch Lyman-Serie genannt wird. Der erste Übergang der Serie hat eine Wellenlänge von 121 nm, die Seriengrenze liegt bei 91 nm. Analog ergeben sich die anderen Serien:

Energieniveaus des Wasserstoffspektrums
n_1 n_2 Name Wellenlänge
des ersten Übergangs
(α-Linie)
konvergiert gegen
Seriengrenze
1 2 \rightarrow \infty Lyman-Serie 121 nm 91,13 nm
2 3 \rightarrow \infty Balmer-Serie 656 nm 364,51 nm
3 4 \rightarrow \infty Paschen-Serie 1 874 nm 820,14 nm
4 5 \rightarrow \infty Brackett-Serie 4 051 nm 1458,03 nm
5 6 \rightarrow \infty Pfund-Serie 7 456 nm 2278,17 nm
6 7 \rightarrow \infty Humphrey-Serie 12 365 nm 3280,56 nm

Rydberg-Formel für wasserstoffähnliche Atome[Bearbeiten]

Für wasserstoffähnliche Ionen, d.h. Ionen, die nur ein Elektron besitzen, wie z. B. He+, Li2+, Be3+ oder K10+, lässt sich obige Formel erweitern zu:

\frac{1}{\lambda_{\mathrm{vac}}} = Z^2 R \left( \frac{1}{{n'}_1^2} - \frac{1}{{n'}_2^2} \right)

mit der Kernladungszahl Z, d.h. der Anzahl der Protonen im Atomkern. Dabei sind n'_i=n_i-\delta_n die um den Quantendefekt \delta_n korrigierten Hauptquantenzahlen.

Eine Verallgemeinerung auf die Lichtemission von Atomen, die ein einzelnes Elektron in einer nicht abgeschlossenen Schale besitzen, führt zum Moseleyschen Gesetz.