Rydberg-Konstante

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Physikalische Konstante
Name Rydberg-Konstante
Formelzeichen R_\infty
Wert
SI 10\,973\,731{,}568\,539\, \mathrm{m^{-1}}
Unsicherheit (rel.)  5{,}0 \cdot 10^{-12}
Bezug zu anderen Konstanten
R_\infty = \frac{\alpha^2 m_e c}{2 h}
\alphaFeinstrukturkonstante
m_eElektronenmasse
cLichtgeschwindigkeit im Vakuum
hPlancksches Wirkungsquantum
Quellen und Anmerkungen
Quelle SI-Wert: CODATA 2010 (NIST)

Die Rydberg-Konstante R_\infty ist eine nach Johannes Rydberg benannte Naturkonstante in einer Näherungsformel zur Berechnung von Atomspektren, siehe Rydberg-Formel. Der Wert ist die als Wellenzahl ausgedrückte Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms unter Vernachlässigung relativistischer Effekte und der Mitbewegung des Kerns (also unendlicher Kernmasse, daher der Index \infty).

Der derzeit (CODATA 2010)[1] empfohlene Wert der Rydberg-Konstanten beträgt

R_\infty = 10 \, 973 \, 731{,}568 \, 539 \,(55)\,\mathrm{m}^{-1}.

Die relative Standardunsicherheit beträgt 5,0·10-12. Damit ist sie die am genauesten gemessene Naturkonstante überhaupt.

Zusammenhang mit anderen Naturkonstanten[Bearbeiten]

Die Rydberg-Konstante ergibt sich aus der Feinstrukturkonstante α und der Compton-Wellenlänge λC,e eines Elektrons nach

R_\infty = \frac{\alpha^2}{2} \, \frac{1}{\lambda_{C,e}}
                = \frac{\alpha^2}{2} \, \frac{m_e c}{h}
                = \frac{m_e e^4}{8 c \varepsilon_0^2 h^3}

mit

Rydberg-Frequenz und Rydberg-Energie[Bearbeiten]

Die Rydberg-Konstante wird häufig auch als Frequenz oder als Energie angegeben. Die empfohlenen Werte betragen[2][3]

  • Rydberg-Frequenz: R = c R_\infty  = 3{,}289\;841\;960\;364\;\left(17\right) \cdot 10^{15} \ \mathrm{Hz}
  • Rydberg-Energie: R_y = h R = h c R_\infty = 13{,}605\;692\;53\left(30\right) \ \mathrm{eV} = 1 \mathrm{Ry}.

Der konkrete Wert der Rydberg-Energie R_y wird ein Rydberg genannt, damit wird das Rydberg als Maßeinheit für Energien verwendbar.

Herleitung[Bearbeiten]

Die Rydberg-Konstante R_\infty lässt sich aus folgenden vier Bedingungen berechnen:

 2 \pi r = n \lambda ,

wobei r den Radius des Elektronenorbits bezeichnet.

 F_{Z}= \frac{m v^2}{r}.
 F_{C}= -\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2 }
 V = -\int_\infty^r F_{C} \, \mathbf{dr} = - \frac {e^2}{ 4 \pi \varepsilon_0 r}.

Mit der Beziehung von de Broglie  \lambda  = \frac{h}{p} =\frac{h}{mv} erhalten wir aus der Bohrschen Bedingung:

 v = \frac {n h}{2 \pi r m}. (1)

Für eine stabile Bahn gilt klassisch

 F_{Z} = - F_{C}
 \Leftrightarrow \frac{m v^2}{r} = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2 }. (2)

Einsetzen von (1) liefert den Radius

 r = \frac{n^2 h^2 \varepsilon_0 }{ \pi m e^2}. (3)

Unter den gemachten Annahmen sind dies also die einzigen erlaubten Bahnradien.

Außerdem folgt aus (2) für die kinetischen Energie

 T = \frac{mv^2}{2} = \frac{e^2}{8 \pi \varepsilon_0 r }

und für die Gesamtenergie

\begin{align}
E & = T + V\\
  & = \frac{e^2}{8 \pi\varepsilon_0 r}- \frac {e^2}{ 4 \pi \varepsilon_0 r}\\
  & = -\frac{e^2}{8 \pi\varepsilon_0 r}
\end{align}

Einsetzen von (3) ergibt


E = -\frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2}\cdot \frac{1}{n^2}

Jeder Orbit besitzt demnach eine bestimmte potentielle und kinetische Energie, sodass bei einer Änderung des Orbits von n1 nach n2 auch eine Energieänderung stattfindet. Diese ist gerade

 \Delta E = \frac{ m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2} \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right)

oder mit

\Delta{E} = \frac{hc}{\lambda}

als Wellenlängenänderung geschrieben:

 \frac{1}{ \lambda} = \frac{ m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c} \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right).

Die Rydberg-Konstante ist daher gerade

 R_\infty = \frac{ m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c}.

Dieses Ergebnis wurde erstmals von Niels Bohr als Folgerung seines Atommodells bestimmt.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatCODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 20. Juni 2011. Wert für die Rydberg-Konstante.
    Die eingeklammerten Ziffern geben die Standardunsicherheit an, bezogen auf die letzte angegebene Stelle.
  2. Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatCODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 20. Juni 2011. Wert für die Rydberg-Frequenz
  3. Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatCODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 20. Juni 2011. Wert für die Rydberg-Energie