S3 (Gruppe)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

S_3 bezeichnet im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie eine bestimmte symmetrische Gruppe mit 6 Elementen. Alternative Bezeichnungen sind \mathfrak{S}_3, Sym_3 oder D_3 (Diedergruppe). Geometrisch entsteht die S_3 als Gruppe der Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreiecks auf sich.

Einführung[Bearbeiten]

Die Wirkungen der Abbildungen d, d^2,s_1,s_2 und s_3

Betrachtet man die Kongruenzabbildungen, die ein gleichseitiges Dreieck in sich selbst überführen, so findet man 6 Möglichkeiten:[1]

  • die identische Abbildung e,
  • die Drehung d um 120° um den Mittelpunkt des Dreiecks,
  • die Drehung d^2 um 240° um den Mittelpunkt des Dreiecks,
  • drei Spiegelungen s_1,s_2 und s_3 an den drei Mittelsenkrechten des Dreiecks.

Diese Kongruenzabbildungen lassen sich durch Hintereinanderausführung kombinieren, wodurch man wieder eine Kongruenzabbildung erhält. Man schreibt einfach zwei Kongruenzabbildungen (oft ohne Verknüpfungszeichen, oder mit \cdot oder \circ) nebeneinander und meint damit, dass

zuerst die rechtsstehende und dann die linksstehende

Kongruenzabbildung auszuführen ist.[2] Die Schreibweise d^2 macht bereits deutlich, dass die Drehung um 240° gleich der zweifachen Hintereinanderausführung der Drehung um 120° ist.

Man erhält auf diese Weise die sechselementige Gruppe S_3 = \left\{e, d, d^2, s_1, s_2, s_3\right\} aller Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreiecks auf sich. Trägt man alle so gebildeten Verknüpfungen in eine Verknüpfungstafel ein, so erhält man

\cdot e d d^2 s_1 s_2 s_3
e e d d^2 s_1 s_2 s_3
d d d^2 e s_3 s_1 s_2
d^2 d^2 e d s_2 s_3 s_1
s_1 s_1 s_2 s_3 e d d^2
s_2 s_2 s_3 s_1 d^2 e d
s_3 s_3 s_1 s_2 d d^2 e

Will man das Produkt ab für zwei Elemente a,b aus S_3 ausrechnen, so suche man in der Verknüpfungstafel die mit a gekennzeichnete Zeile und mit b gekennzeichnete Spalte auf; am Schnittpunkt aus dieser Zeile und dieser Spalte steht das Produkt.

Verallgemeinert man diese Konstruktion, indem man das gleichseitige Dreieck durch ein regelmäßiges n-Eck ersetzt, so kommt man zum Begriff der Diedergruppe. Daher wird die hier besprochene Gruppe S_3 auch mit D_3 bezeichnet.

Elemente der S_3 als Permutationen[Bearbeiten]

Eine Kongruenzabbildung des gleichseitigen Dreiecks ist bereits dadurch eindeutig festgelegt, wie die mit 1, 2 und 3 bezeichneten Ecken aufeinander abgebildet werden. Jedes Element der S_3 kann daher als Permutation der Menge \{1,2,3\} aufgefasst werden. Sie sehen im Folgenden zuerst die Zweizeilenform und dahinter die Zykelschreibweise[3] der Elemente sowie deren Ordnungen:


  \begin{array}{rcccll}
     e &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}&=& (1)&\qquad \mathrm{ord}\left(e\right)=1\\ \\
    d &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}&=&(1~2~3)&\qquad \mathrm{ord}\left(d\right)=3\\ \\
    d^2 &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}&=&(1~3~2)&\qquad \mathrm{ord}\left(d^2\right)=3\\ \\
    s_1 &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}&=&(2~3)&\qquad \mathrm{ord}\left(s_1\right)=2\\ \\
    s_2 &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}&=&(1~3)&\qquad \mathrm{ord}\left(s_2\right)=2\\ \\
    s_3 &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}&=&(1~2)&\qquad \mathrm{ord}\left(s_3\right)=2
  \end{array}

Eigenschaften[Bearbeiten]

Keine abelsche Gruppe[Bearbeiten]

Die Gruppe S_3 ist keine abelsche Gruppe, wie obiger Verknüpfungstafel entnommen werden kann; beispielsweise gilt ds_1=s_3\neq s_2=s_1d. Sie ist bis auf Isomorphie die kleinste nicht-abelsche Gruppe, das heißt, jede nicht-abelsche Gruppe ist entweder isomorph zu S_3 oder hat mehr Elemente.

Untergruppen und Normalteiler[Bearbeiten]

Die Untergruppen neben den trivialen Untergruppen \{e\} und S_3 selbst sind:

  • A_3 := \left\{e, d, d^2\right\}\cong\Z/3\Z . Diese Untergruppe ist ein Normalteiler und wird auch als alternierende Gruppe vom Grad 3 bezeichnet.
  • \{e, s_1\}\cong\{e, s_2\}\cong\{e, s_3\}\cong\Z/2\Z. Diese Untergruppen sind keine Normalteiler; beispielsweise ist d \{e, s_1\} d^{-1} \,=\, d \{e, s_1\} d^2 \,=\, \{e, s_2\}.

Erzeuger und Relationen[Bearbeiten]

Man kann Gruppen auch dadurch beschreiben, dass man ein Erzeugendensystem und Relationen, die die Erzeuger erfüllen müssen, angibt. Erzeuger und Relationen notiert man, durch das Zeichen | getrennt, in spitzen Klammern. Die Gruppe ist dann die von den Erzeugern erzeugte freie Gruppe modulo dem von den Relationen erzeugten Normalteiler. In diesem Sinne ist:[4]

S_3 = \langle d, s \mid d^3, s^2, dsds \rangle

Irreduzible Darstellungen[Bearbeiten]

Bis auf Äquivalenz hat die S_3 drei irreduzible Darstellungen, zwei eindimensionale und eine zweidimensionale.[5] Zur Angabe dieser Darstellungen genügt es, die Bilder von d und s_1 anzugeben, denn diese Elemente erzeugen die Gruppe.

  • Die triviale Darstellung: S_3\rightarrow \C:\,\, d\mapsto 1, s_1\mapsto 1
  • Die Signum-Abbildung: S_3\rightarrow \C:\,\, d\mapsto 1, s_1\mapsto -1
  • Die zweidimensionale Darstellung: S_3\rightarrow M_2(\C):\,\, d\mapsto \begin{bmatrix} e^{2\pi i/3} & 0 \\ 0 & e^{-2\pi i/3} \end{bmatrix}, s_1\mapsto \begin{bmatrix} 0 & 1  \\ 1 & 0  \end{bmatrix}.

Zwar erhält man eine andere zweidimensionale Darstellung, wenn man s_1 durch s_2 ersetzt, aber diese ist äquivalent zur angegebenen.

Weitere Beispiele[Bearbeiten]

Allgemeine lineare Gruppe über Z/2[Bearbeiten]

Die allgemeine lineare Gruppe 2-ten Grades über dem Restklassenkörper \Z/2 = \mathbb{F}_2 = \{0,1\},

GL(2,\mathbb{F}_2) =\left\{
\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 0 &1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 0 &1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}
\right\}

ist isomorph zur S_3.

Transformationengruppe[Bearbeiten]

Die gebrochen linearen Funktionen s_1,s_2 mit Koeffizienten aus einem beliebigen Körper K und den Zuordnungen[6]

s_1:  X \mapsto 1-X
s_2: X \mapsto X^{-1}

erzeugen mit der Hintereinanderausführung als Gruppenverknüpfung eine Gruppe G, die isomorph zur S_3 ist. Die übrigen 4 Gruppenmitglieder sind:

d:=s_1\circ s_2:  X \mapsto \tfrac{X-1}{X}
s_3:=d\circ s_1 = s_2\circ d: X \mapsto \tfrac{X}{X-1}
d^{2} := d\circ d = s_2\circ s_1: X \mapsto \tfrac{1}{1-X}
d^{3} := d\circ d^{2} = e: X \mapsto X

Die Verknüpfungstafel ist wie oben.
Die 6 Gruppenmitglieder s\in G unterscheiden sich bei einer Einsetzung von Elementen x\in K\!\setminus\!\{0,1\}

s_K: x \mapsto s_K(x):=s(x)

auch in den Wertetabellen, wenn K wenigstens 5 Elemente hat.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Arno Mitschka: Elemente der Gruppentheorie. Studienbücher Mathematik (1975), ISBN 3-451-16528-7, Abschnitt II.5
  2. Diese Reihenfolge kommt von der Operatorenperspektive, wie sie bei der Hintereinanderschaltung von Abbildungen (so auch bei den Permutationen) vorherrscht. Für die pure Gruppentheorie ist die Reihenfolge unerheblich.
  3. K. Meyberg: Algebra, Teil I. Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Beispiel 2.4.2.c
  4. K. Meyberg: Algebra, Teil I. Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Beispiel 2.7.18.c
  5. J. P. Serre: Darstellungen endlicher Gruppen. Vieweg (1972), ISBN 3-528-03556-0, §5.3
  6. Ist K der Körper der komplexen Zahlen, genauer: die riemannsche Zahlenkugel, dann handelt es sich um Möbiustransformationen.

Weblinks[Bearbeiten]