SL(2,R)

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Dieser Artikel behandelt die Spezielle lineare Gruppe SL(2,\R), für die Lie-Algebra \mathfrak{sl}(2,\R) siehe sl(2,R).

Die Spezielle lineare Gruppe SL(2,R) oder SL2(R) ist die Gruppe der reellen 2 × 2-Matrizen mit Determinante 1:

\mbox{SL}(2,\R) = \left\{ \left( \begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix} \right) : a,b,c,d\in\R \mbox{ und }ad-bc=1\right\}.

Sie ist eine Lie-Gruppe mit vielfältigen Anwendungen in Geometrie, Topologie, Darstellungstheorie, harmonischer Analysis, Zahlentheorie, Modulformen und Physik.

Darstellungstheorie[Bearbeiten]

Für jede natürliche Zahl d gibt es eine, bis auf Isomorphismus eindeutige, (d+1)-dimensionale irreduzible Darstellung der SL(2,R). Eine explizite Realisierung dieser irreduziblen Darstellung ist wie folgt. Sei

V_d=\left\{f(x,y)=a_0x^d+a_1x^{d-1}y+a_2x^{d-2}y^2+\ldots+a_{d-1}xy^{d-1}+a_dy^d: a_0,\ldots,a_d\in\R\right\}

der Vektorraum der homogenen Polynome vom Grad d in 2 Variablen. Dieser Vektorraum ist (d+1)-dimensional und A\in SL(2,\mathbb R) wirkt durch

(Af)(x,y):=f(A^{-1}(x,y)).

Die Veronese-Einbettung \nu_d:\R P^1\to \R P^d ist äquivariant bezüglich der irreduziblen Darstellung SL(2,\R)\to SL(d+1,\R).

Die unendlich-dimensionalen Darstellungen der SL(2,\mathbb R) werden durch die Langlands-Klassifikation beschrieben.

Lie-Algebra[Bearbeiten]

Hauptartikel: sl(2,R)

SL(2,\mathbb R) ist eine Lie-Gruppe, ihre Lie-Algebra ist die Lie-Algebra der spurfreien (2\times 2)-Matrizen

\mathfrak{sl}(2,\mathbb R)=\left\{A\in \operatorname{Mat}(2,\mathbb R): \operatorname{Sp}(A)=0\right\}.

Eine Vektorraum-Basis des 3-dimensionalen Vektorraumes \mathfrak{sl}(2,\mathbb R) ist zum Beispiel

H=\left(\begin{array}{cc}1&0\\
0&-1\end{array}\right),\ X= \left(\begin{array}{cc}0&1\\
0&0\end{array}\right),\ Y=\left(\begin{array}{cc}0&0\\
1&0\end{array}\right)

mit den Kommutator-Relationen

\left[H,X\right]=2X,\ \left[H,Y\right]=-2Y,\ \left[X,Y\right]=H.

Diese Lie-Algebra ist einfach, sie hat zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren: eine erzeugt von H, die andere von X-Y.

Die Killing-Form ist B(V,W)=4\operatorname{Tr}(VW). Sie ist negativ definit auf dem von X-Y erzeugten Unterraum, positiv definit auf dem von H und X+Y erzeugten Unterraum.

Lineare Algebra[Bearbeiten]

Matrizen aus SL(2,\mathbb R) entsprechen invertierbaren linearen Abbildungen des Vektorraums \mathbb R^2. Die Matrix \left( \begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix} \right) wirkt durch

\left( \begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
x  \\
y 
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
ax+by \\
cx+dy
\end{matrix} \right).

Matrizen aus SL(2,\mathbb R) erhalten die Volumenform, aber im Allgemeinen nicht die euklidische Metrik des \mathbb R^2.

Klassifikation der 2×2-Matrizen[Bearbeiten]

Die Eigenwerte einer Matrix A ∈ SL(2,R) sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms

 \lambda^2 \,-\, \mathrm{tr}(A)\,\lambda \,+\, 1 \,=\, 0

und lassen sich nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen berechnen als

 \lambda = \frac{\mathrm{tr}(A) \pm \sqrt{\mathrm{tr}(A)^2 - 4}}{2}.

Man klassifiziert die Matrizen dann entsprechend der folgenden Einteilung:

  • Wenn | tr(A) | < 2, dann ist A eine elliptische Matrix.
  • Wenn | tr(A) | = 2, dann ist A eine parabolische Matrix.
  • Wenn | tr(A) | > 2, dann ist A eine hyperbolische Matrix.

Elliptische Elemente[Bearbeiten]

Drehung mit Fixpunkt 0.

Elliptische Elemente sind von der Form

A\left( \begin{matrix}
\cos\phi & \sin\phi \\
-\sin \phi & \cos \phi
\end{matrix}\right)A^{-1}

mit \phi\in\R/2\pi\Z und A\in SL(2,\R).

Die Matrix \left( \begin{matrix}
\cos\phi & \sin\phi \\
-\sin \phi & \cos \phi
\end{matrix}\right) wirkt auf der euklidischen Ebene als Drehung mit Fixpunkt 0 und Drehwinkel \phi.

Parabolische Elemente[Bearbeiten]

Eine Scherung bildet ein Rechteck auf ein Parallelogramm ab.

Parabolische Elemente sind von der Form

\pm A\left( \begin{matrix}
1 & n \\
0 & 1
\end{matrix}\right)A^{-1}

mit n\in\R und A\in SL(2,\R).

Die Matrix \left( \begin{matrix}
1 & \ n \\
0 & 1
\end{matrix}\right) wirkt auf der euklidischen Ebene als Scherung.

Hyperbolische Elemente[Bearbeiten]

Das Bild-Parallelogramm hat denselben Flächeninhalt wie das ursprüngliche Quadrat.

Hyperbolische Elemente sind von der Form

 A\left( \begin{matrix}
a & 0 \\
0 & \frac{1}{a}
\end{matrix}\right)A^{-1}

mit a\in\R\setminus\left\{0\right\} und A\in SL(2,\R).

Die Matrix  \left( \begin{matrix}
a & 0 \\
0 & \frac{1}{a}
\end{matrix}\right) wirkt als Dehnstauchung, d.h. sie dehnt in Richtung eines Eigenvektors, staucht in Richtung des anderen Eigenvektors, erhält insgesamt aber den Flächeninhalt.

Hyperbolische Geometrie[Bearbeiten]

Matrizen aus SL(2,\mathbb R) wirken auf der oberen Halbebene

\mathbb{H} = \{x + iy \;| y > 0; x, y \in \mathbb{R} \}\subset \mathbb C

durch

z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}.

Sie wirken als Isometrien der hyperbolischen Metrik.

Weil ±I als Identitätsabbildung wirkt, faktorisiert diese Wirkung von SL(2,R) über

PSL(2,R) = SL(2,R)/{±I}.

Projektive Geometrie und gebrochen-lineare Transformationen[Bearbeiten]

Die projektive Gerade \R P^1 ist die Menge aller Geraden durch den Nullpunkt im \R^{2}. Die Wirkung von SL(2,\R) auf \left(\R^{2}\setminus\{0\}\right) gibt eine wohl-definierte Wirkung von PSL(2,\R) auf \R P^1.

Durch [x:y]\rightarrow \frac{x}{y} wird eine Bijektion zwischen \R P^1 und \R\cup\left\{\infty\right\} definiert. Nach dieser Identifizierung von \R P^1 und \R\cup\left\{\infty\right\} wirkt PSL(2,\R) auf \R\cup\left\{\infty\right\} durch gebrochen-lineare Transformationen

\left( \begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix} \right) z = \frac{az+b}{cz+d}.

Die Veronese-Einbettung \R P^1\to \R P^n ist äquivariant bzgl. der irreduziblen Darstellung SL(2,\R)\to SL(n+1,\R).

\R P^1=\R\cup\left\{\infty\right\} ist auch der Rand im Unendlichen \partial\H der hyperbolischen Ebene \H. Die Wirkung von PSL(2,\R) auf der Kompaktifizierung \H\cup\partial \H der hyperbolischen Ebene durch gebrochen-lineare Transformationen ist stetig. Elliptische Elemente haben einen Fixpunkt in \H, parabolische Elemente haben einen Fixpunkt in \partial\H, hyperbolische Elemente haben zwei Fixpunkte in \partial\H.

Fuchssche Gruppen[Bearbeiten]

Diskrete Untergruppen von \mathrm{PSL}(2,\mathbb R) bezeichnet man als Fuchssche Gruppen.

Die Limesmenge einer Fuchsschen Gruppe Γ ist der Durchschnitt von \R P^1=\partial\H mit dem Abschluss einer Bahn \Gamma x, wobei und die Definition der Limesmenge unabhängig vom gewählten Punkt x\in\H ist.

Eine Fuchssche Gruppe heißt Fuchssche Gruppe 1. Art, falls die Limesmenge ganz \mathbb P^1(\mathbb{R)}=\mathbb{R}\cup\{\infty\} ist. Andernfalls handelt es sich um eine Fuchssche Gruppe 2. Art.

Fuchssche Gruppen 1. Art sind die sogenannten Gitter in \mathrm{PSL}(2,\mathbb R), d.h. diskrete Untergruppen \Gamma, für die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens in der hyperbolischen Ebene gibt.

Ein Beispiel eines Gitters in \mathrm{SL}(2,\mathbb R) ist die modulare Gruppe \mathrm{SL}(2,\mathbb Z), die unter anderem in der Theorie der Modulformen eine zentrale Rolle mit vielen zahlentheoretischen Anwendungen spielt.

Wenn eine Fuchssche Gruppe \Gamma\subset\mathrm{PSL}(2,\mathbb R) keine Elemente der Ordnung 2 enthält, dann ist sie die Projektion einer diskreten Untergruppe von \mathrm{SL}(2,\mathbb R). (Satz von Culler)

Topologie[Bearbeiten]

Die Kreis-Gruppe \mathrm{SO}(2) ist eine maximal kompakte Untergruppe von \mathrm{SL}(2,\mathbb R). Die Untergruppe \mathrm{SO}(2) ist ein Deformationsretrakt von \mathrm{SL}(2,\mathbb R), insbesondere sind die beiden Räume homotopieäquivalent.

Die Fundamentalgruppe von \mathrm{SL}(2,\mathbb R) ist isomorph zu \mathbb Z, die höheren Homotopiegruppen sind trivial.

Die universelle Überlagerung \widetilde{\mathrm{SL}(2,\mathbb R)} von \mathrm{SL}(2,\mathbb R) ist ein Beispiel einer Lie-Gruppe, welche keine treue endlich-dimensionale Darstellung besitzt, also zu keiner Untergruppe einer allgemeinen linearen Gruppe \mathrm{GL}(n,\mathbb R) isomorph ist.

Der Quotient \mathrm{PSL}(2,\R)=\mathrm{SL}(2,\R)/\Z/2\Z ist diffeomorph zum Einheitstangentialbündel der hyperbolischen Ebene: {\mathrm{PSL}(2,\mathbb R)}=T^1\H.

Literatur[Bearbeiten]

  • Serge Lang: SL2(R). Graduate Texts in Mathematics, 105. Springer-Verlag, New York, 1985.
  • William Thurston: Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997.