Saturiertheit (Modelltheorie)

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In der Modelltheorie ist eine Struktur saturiert, wenn in ihr sehr viele Typen realisiert sind.

Notationen[Bearbeiten]

Für eine Menge X bezeichne |X| wie üblich ihre Mächtigkeit, für eine Sprache L sei |L| die Mächtigkeit der Vereinigung der Symbole der Sprache. Für eine Struktur \mathfrak{M} bezeichne M ihre Trägermenge.

Definition[Bearbeiten]

Sei \kappa eine beliebige (möglicherweise auch endliche) Kardinalzahl und \mathfrak{M} eine Struktur.

\mathfrak{M} heißt \kappa-saturiert, wenn für jede Menge A\subseteq M mit |A|<\kappa jeder vollständige (und somit jeder) 1-Typ über A in \mathfrak{M} realisiert wird.

\mathfrak{M} heißt saturiert , wenn \mathfrak{M} \ |M|-saturiert ist.

Sätze[Bearbeiten]

Existenz kappa-saturierter Erweiterungen[Bearbeiten]

Dass saturierte Erweiterungen existieren, zeigt folgender Satz:

  • Zu jeder Kardinalzahl \kappa\geqslant|L| und jeder unendlichen L-Struktur \mathfrak{M} mit |M|<2^\kappa gibt es eine \kappa^+-saturierte elementare Erweiterung \mathfrak{M}^* mit |M^*|\leqslant 2^{\kappa}.[1]:125

Universalität und Homogenität[Bearbeiten]

Nach einem Satz von Michael Morley und Robert Vaught ist eine Struktur genau dann saturiert, wenn sie universell und homogen ist.[2]

Ultraprodukte[Bearbeiten]

Abzählbare Ultraprodukte sind \aleph_1-saturiert. Es gilt:

  • Sei L eine abzählbare Sprache und für i \in \N sei \mathfrak{M}^i eine L-Struktur. Dann ist das Utraprodukt nach einem freien Ultrafilter \aleph_1-saturiert.[1]:148

Insbesondere folgt daher aus der Kontinuumshypothese (und dem nächsten Satz, s. u.), dass abzählbare Utraprodukte von Strukturen der Mächtigkeit von höchstens 2^{\aleph_0} über abzählbaren Sprachen isomorph sind. Dazu zählen z. B. die hyperreellen Zahlen.

Eindeutigkeit von saturierten Strukturen[Bearbeiten]

Es gilt folgender Isomorphiesatz:

  • Seien \mathfrak{M} und \mathfrak{M}' zwei elementar äquivalente L-Strukturen gleicher Mächtigkeit. Sind beide Strukturen saturiert, dann sind sie isomorph.[1]:132

Abzählbare saturierte Modelle[Bearbeiten]

Eine vollständige Theorie ohne endliche Modelle hat genau dann ein abzählbares saturiertes Modell, wenn die Theorie klein ist.[3]

Beispiele[Bearbeiten]

  • Eine unendliche Struktur \mathfrak{M} ist offenbar nie \kappa-saturiert, falls \kappa>|M|
  • (\Q,<) ist saturiert. Ein vollständiger 1-Typ über einer endlichen Menge besagt gerade, wo die Position von x in Bezug auf die endliche Menge ist. (Es gibt also über einer n-elementigen Menge genau 2n+1 vollständige 1-Typen.) Siehe auch: Dichte Ordnung
  • (\R,<) ist \aleph_0-saturiert, aber nicht saturiert. Der Typ \{x > 1, x > 2, x > 3, \ldots\} wird nicht realisiert.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Gerald E. Sacks: Saturated Model Theory. W. A. Benjamin, 1972, ISBN 0-805-38380-8.
  • Chang, C. C.; Keisler, H. J. Model theory. Third edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. ISBN 0-444-88054-2

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b c A. Prestel: Einführung in die Mathematische Logik und Modelltheorie. Braunschweig 1986
  2. Sacks, S. 112.
  3. Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie, Spektrum Akademischer Verlag 1995, ISBN 978-3-86025-461-5, Satz 12.3