Satz über rationale Nullstellen

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Der Satz über rationale Nullstellen (auch rationaler Nullstellentest oder Lemma von Gauß) ist eine Aussage über die rationalen Nullstellen ganzzahliger Polynome. Sie beinhaltet ein notwendiges Kriterium für die Existenz einer rationalen Nullstelle und liefert dabei eine endliche Menge rationaler Zahlen, in der alle rationalen Nullstellen enthalten sein müssen.

Aussage[Bearbeiten]

Für jede rationale Nullstelle eines ganzzahligen Polynoms gilt, dass ihr Zähler das Absolutglied und ihr Nenner den Leitkoeffizienten des Polynoms teilen müssen.

Seien also f(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_0 mit a_i \in \Z ein Polynom vom Grad n und x_0=\frac{p}{q} (wobei p,\,q \in \mathbb{Z} teilerfremd sind) eine rationale Nullstelle von f, dann ist a_0 durch p teilbar und a_n durch q teilbar.

Anmerkungen[Bearbeiten]

Wenn der Leitkoeffizient a_n des Polynoms den Betrag 1 besitzt, dann ist jede rationale Nullstelle eine ganze Zahl, die das Absolutglied a_0 teilt.

Der Satz lässt sich auch verwenden, um die rationalen Nullstellen rationaler Polynome zu berechnen. Denn wenn man ein rationales Polynom mit einem gemeinsamen Vielfachen der Nenner seiner Koeffizienten multipliziert, so erhält man ein ganzzahliges Polynom mit den gleichen Nullstellen, zu deren Bestimmung man nun den rationalen Nullstellentest anwenden kann.

Der Satz über rationale Nullstellen ergibt sich auch als Korollar zu einer auf Gauß zurückgehenden allgemeineren Aussage über Polynome über dem Quotientenkörper eines faktoriellen Ringes (siehe Lemma von Gauß).

Beispiele[Bearbeiten]

Das Polynom p(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 besitzt keine rationale Nullstelle, da 1 und −1 die einzigen Teiler des Absolutglieds sind und p(-1)=1\neq 0 und p(1)=7\neq 0 ist.

Aus dem rationalen Polynom p(x)=\tfrac{1}{5}x^3-\tfrac{7}{30}x^2+\tfrac{1}{30} erhält man durch Multiplikation mit 30 das ganzzahlige Polynom p^{\star}(x)=6x^3-7x^2+1. Dessen rationale Nullstellen müssen dann in der Menge \{ \pm 1,\pm\tfrac{1}{2},\pm\tfrac{1}{3},\pm\tfrac{1}{6} \} enthalten sein. Überprüft man nun alle diese Kandidaten durch Einsetzen in p oder p^{\star}, so erhält man als Nullstellen -\tfrac{1}{3}, 1 und \tfrac{1}{2}. Da p als Polynom vom Grad 3 maximal 3 paarweise verschiedene Nullstellen besitzen kann, existieren in diesem Fall auch keine weiteren irrationalen Nullstellen.

Literatur[Bearbeiten]

  • Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: Höhere Mathematik 1. Springer, 6. Auflage 2006, ISBN 3540418504, S. 64 (Auszug in der Google-Buchsuche)
  • Rolf Walter: Einführung in die Analysis 1. Walter de Gruyter 2007, ISBN 9783110195392, S. 110-111, 362 (Auszug in der Google-Buchsuche)
  • Karl-Heinz Zimmermann: Diskrete Mathematik. Books on Demand 2006, ISBN 3833455292, S. 171 (Auszug in der Google-Buchsuche)
  • Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentals of College Algebra. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3. überarbeitete Auflage 1990, ISBN 0-673-38638-4, S. 216-221
  • Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: The historical roots of elementary mathematics. Dover Courier Publications 1998, ISBN 0486255638, S. 116-117 (Auszug in der Google-Buchsuche)

Weblinks[Bearbeiten]