Satz des Heron

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Ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c.

Der Satz des Heron ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie, welcher nach dem antiken Mathematiker Heron von Alexandria benannt ist. Der Satz beschreibt eine mathematische Formel, mit deren Hilfe der Flächeninhalt eines Dreiecks aus den drei Seitenlängen berechenbar ist. Man nennt die Formel auch heronsche Formel bzw. heronische Formel oder auch die Formel von Heron (englisch Heron's formula).

Formulierung des Satzes[Bearbeiten]

Der Flächeninhalt F_{\Delta} eines Dreiecks \Delta der euklidischen Ebene mit den Seitenlängen

a,b,c

und halbem Umfang

s \, = \,  \frac{a+b+c}{2}

ist

F_{\Delta} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}   .

Andere Darstellungen[Bearbeiten]

Die heronische Formel lässt sich auch so ausdrücken:

(V1) F_{\Delta} =  \frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4}   .


Ausmultipliziert erhält man:

(V2) F_{\Delta} =  \frac{\sqrt{2a^2 b^2 + 2a^2 c^2 +2 b^2 c^2  -a^4 -b^4 -c^4}}{4}   .


Als weitere Darstellung der heronischen Formel ist auch die folgende gängig:

(V3) F_{\Delta} =  \frac{\sqrt{4a^2 b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2}}{4}   ,[1]

welche man aus der Version (V1) durch Umgruppieren und Anwendung der binomischen Formeln mit den folgenden Gleichungen gewinnt:


\begin{align}
16 {F_{\Delta}}^2  &= \bigl( ((a+b)+c)((a+b)-c) \bigr) \bigl( (c+(a-b))(c-(a-b)) \bigr)  \\
                   &= \bigl( (a+b)^2 -c^2  \bigr)  \bigl( c^2-(a-b)^2  \bigr)   \\
                   &= \bigl( a^2 + 2ab + b^2 -c^2  \bigr)  \bigl( c^2-a^2 + 2ab -b^2  \bigr)   \\
                   &= \bigl( 2ab + (a^2 + b^2 - c^2)  \bigr)  \bigl(  2ab - (a^2 + b^2 - c^2)  \bigr)   \\
                   &= 4a^2 b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2   \\
\end{align}
  .


Aus der Version (V3) lässt sich schließlich eine Determinantendarstellung ableiten:[2][3]

(V4) F_{\Delta} =   \frac{1}{4} {\sqrt{ - \det \left( \begin{matrix} 0&1&1&1 \\ 1&0&a^2&b^2 \\ 1&a^2&0&c^2  \\ 1&b^2&c^2&0 \end{matrix} \right)  }}   .[4]

Diese erhält man unter Anwendung des Entwicklungssatzes von Laplace und elementarer Matrizenumformungen wie folgt:


\begin{align}
4a^2 b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2  &=  4a^2 b^2 - (c^2 - a^2 - b^2)^2  \\
                                &=  \det \left( \begin{matrix} -2a^2&c^2-a^2-b^2 \\ c^2-a^2-b^2&-2b^2  \end{matrix} \right)  \\
                                &=  \det \left( \begin{matrix} 1&a^2&b^2 \\ 0&-2a^2&c^2-a^2-b^2  \\ 0&c^2-a^2-b^2&-2b^2   \end{matrix} \right)  \\
                                &=  \det \left( \begin{matrix} 1&a^2&b^2 \\ 1&-a^2&c^2-a^2  \\ 1&c^2-b^2&-b^2   \end{matrix} \right)  \\
                                &= - \det \left( \begin{matrix} 0&1&0&0 \\ 1&0&a^2&b^2 \\ 1&a^2&-a^2&c^2-a^2  \\ 1&b^2&c^2-b^2&-b^2   \end{matrix} \right)  \\
                                &= - \det \left( \begin{matrix} 0&1&1&1 \\ 1&0&a^2&b^2 \\ 1&a^2&0&c^2  \\ 1&b^2&c^2&0 \end{matrix} \right)  \\                                          
\end{align}
  .

Weiterer Zusammenhang[Bearbeiten]

Die heronische Formel kann als Grenzfall aus der Formel für den Flächeninhalt F_{\Sigma} eines Sehnenvierecks \Sigma gewonnen werden, wenn zwei der Eckpunkte ineinander übergehen, so dass eine der Seiten des Sehnenvierecks die Länge Null annimmt. Für den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks gilt nämlich nach der Formel von Brahmagupta

F_{\Sigma} =  \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}   ,

wobei hier der halbe Umfang

s \, = \, \frac{a+b+c+d}{2}

ist.

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Für die Herleitung der heronischen Formel gibt es viele Vorgehensweisen. Insbesondere lässt sie sich elementar mit Hilfe des pythagoreischen Lehrsatzes herleiten.[5][6]
  2. Neben der Zuweisung der Formel an Heron von Alexandria gibt es auch eine Zuweisung, derzufolge sie auf Archimedes zurückgeht.[7]

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Zu beachten ist hierbei, dass sich die Rollen der Seitenlängen a,b,c beliebig vertauschen lassen.
  2.  Hajós: S. 380-381.
  3.  Koecher-Krieg: S. 111.
  4. Auch hier lassen sich die Rollen der Seitenlängen a,b,c vertauschen, was zu einer gleichwertigen, aber entsprechend abgewandelten Darstellung führt.
  5.  Fraedrich: S. 324.
  6.  Lambacher-Schweizer: S. 99-100.
  7.  Lexikon der Schulmathematik. 2, S. 389.